材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
P = ?12400 mm500 mmØ20Ø40δ = 0.3 mm

棒が、鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.3 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø20110 GPaØ120/50600 mm

鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 120 MPa）が、青銅 でできた管（外径 120 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
T = 500 N·md = 40 mmL = 2 mφ = ?

黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 500 N·md = 40 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
d = ?30 kW, 500 rpm

アルミニウム製の中実軸が 500 rpm で 30 kW を伝達する。せん断応力は 40 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.5° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。

P = 30 kWN = 500 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0.5°/mG = 26 GPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
5 kN/m45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

45 kN @ 3 m5 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 2 kN/mP = 60 kNAB断面1.5 m2.5 m

支点 A から x = 1.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 60 kN 位置 1.5 mw = 2 kN/m（0 から 4 m まで）x = 1.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
100 mm240 mm72 mmØ60xIx​ = ?

100 mm × 240 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 72 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 100 mmh = 240 mmd = 60 mm穴の中心: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
1602014010xM = 25 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 25 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。

bf = 160 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 140 mmM = 25 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −10σy​ = 30τxy​ = −50MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −10 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = −10 MPaσy = 30 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = −10σy​ = −50τxy​ = −20MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −10 MPa、σᵧ = −50 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 20° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。

σx = −10 MPaσy = −50 MPaτxy = −20 MPaθ = 20°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 4 kN/mδL = 3 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 2.5 kN/mABδ3 m

幅 125 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 2.5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 125 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 6 m50 × 80 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 10 kNL = 2 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2 で 10 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 10 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: P = 30.05 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 1257 mm²

柔軟性

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1257) = 3.617 × 10⁻⁶ mm/N

荷重

P = 0.3/9.983 × 10⁻⁶ = 30050 N = 30.05 kN

答え

P = 30.05 kN
2.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 595 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·9346 = 1.091 × 10⁹ N

支配するひずみ

ε = min(0.0006, 0.0005455) = 0.0005455 (青銅)

最大荷重

Pmax = 0.0005455·1.091 × 10⁹ = 595046 N = 595 kN

答え

Pmax = 595 kN
3.軸のねじり

答え: φ = 5.845 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(39000·251327) = 0.102 rad
φ = 0.102·180/π = 5.845°

答え

φ = 5.845°
4.軸のねじり

答え: d = 71.22 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 30000/52.36 = 573 N·m

強度から決まる直径

T = 573 N·m = 572958 N·mm
dτ = ∛(16·572958/(π·40)) = 41.78 mm

剛性から決まる直径

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·572958/(π·26000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 71.22 mm

決定する直径

両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。

d = max(41.78, 71.22) = 71.22 mm

答え

d = 71.22 mm

ここでは剛性で決まります。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 3 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 37.5 kN, R2 = 37.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 35, MC = 65, MD = 90 kN·m, ME = 65, MF = 35, MG = 0

答え

点 D: MD = 90 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 60 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·1.5 + 2·4·2
RB = 106/4 = 26.5 kN
ΣFy = 0: RA = 68 − 26.5 = 41.5 kN
w = 2 kN/mP = 60 kNABRA​ = 41.5RB​ = 26.5断面1.5 m2.5 m

x = 1.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 41.5·1.5 − 2·1.5·0.75 = 60 kN·m

答え

Mx = 60 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 107.2 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (24000·120 − 2827·72)/(24000 − 2827) = 126.4 mm

ȳ まわりの全体の板

100·240³/12 + 24000·−6.41² = 116.2 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·60⁴/64 + 2827·−54.41² = 9.007 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 107.2 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 107.2 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: σ上端 = 99.54 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 160·20 = 3200 mm², yf = 140 + 20/2 = 150 mm
ウェブ: Aw = 10·140 = 1400 mm², yw = 140/2 = 70 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3200·150 + 1400·70)/4600 = 125.7 mm

平行軸の定理

フランジ: 160·20³/12 + 3200·(150 − 125.7)² = 2.004 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 10·140³/12 + 1400·(70 − 125.7)² = 6.623 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.004 × 10⁶ + 6.623 × 10⁶ = 8.626 × 10⁶ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 160 − 125.7 = 34.35 mm
σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·34.35/8.626 × 10⁶ = 99.54 MPa

答え

σ上端 = 99.54 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 53.85 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((−10 − 30)/2)² + −50²) = 53.85 MPa

答え

τmax = 53.85 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σθ = −27.53 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

σθ = −30 + 20·0.766 + −20·0.6428 = −27.53 MPa

答え

σθ = −27.53 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 2.62 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 2.62 mm

答え

δmax = 2.62 mm
12.はりのたわみ

答え: hreq = 140.3 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 2.5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2.5·3000⁴/(384·11000·8.333) = 2.876 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·2.876 × 10⁷/125)1/3 = 140.3 mm

答え

hreq = 140.3 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

13.柱の座屈

答え: Pcr = 32.64 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/4200² = 32638 N = 32.64 kN

答え

Pcr = 32.64 kN
14.柱の座屈

答え: d = 55.42 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·10000 = 20000 N
KL = 2·2000 = 4000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 55.42 mm

答え

d = 55.42 mm

確認：細長比 KL/r は 288.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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