材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
P = ?12400 mm400 mmØ20Ø60δ = 0.2 mm

棒が、鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 400 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.2 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 40 mm鋼1.5 mØ 12 mm黄銅2 mP = 30 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。

P = 30 kN区間 1：Ø40 mm、1.5 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
T = 750 N·md = 30 mmL = 1.5 mφ = ?

鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 750 N·md = 30 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
d = 40 mmT0​ = 250 N·mACBa = 2 mb = 1.5 m

直径 40 mm の鋼製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 2 m、B から 1.5 m の C にトルク 250 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

d = 40 mmT0 = 250 N·ma = 2 mb = 1.5 m
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
15 kN/m25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

25 kN @ 6 m15 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 10 kN/mP = 40 kNAB2 m3 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 5 mP = 40 kN 位置 2 mw = 10 kN/m（0 から 5 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
xD = 160d = 152寸法の単位：mm

円管の外径は D = 160 mm、内径は d = 152 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

D = 160 mmd = 152 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
150 mm150 mm90 mm40 × 20xIx​ = ?

150 mm × 150 mm の板に、幅 40 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 90 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 150 mmh = 150 mm切り欠き: 40 × 20 mm穴の中心: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −60σy​ = 110τxy​ = 40MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −60 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = −60 MPaσy = 110 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 50σy​ = 70τxy​ = 20MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 50 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = 20 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 350 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σx = 50 MPaσy = 70 MPaτxy = 20 MPaσY = 350 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
w = 8 kN/mδL = 4 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 15 kN/mAB8 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。

L = 8 mw = 15 kN/m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
PL = 4 m20 × 80 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 5 md = 80 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: P = 25.7 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²

柔軟性

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·2827) = 1.415 × 10⁻⁶ mm/N

荷重

P = 0.2/7.781 × 10⁻⁶ = 25704 N = 25.7 kN

答え

P = 25.7 kN
2.軸応力とひずみ

答え: δ = 5.484 mm

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 23.87 MPa
σ2 = 265.3 MPa

各区間の伸びを足す

δ1 = σ1L1/E1 = 23.87·1500/200000 = 0.179 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 265.3·2000/100000 = 5.305 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.484 mm

答え

δ = 5.484 mm
3.軸のねじり

答え: φ = 10.13 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(80000·79522) = 0.1768 rad
φ = 0.1768·180/π = 10.13°

答え

φ = 10.13°
4.軸のねじり

答え: τmax = 11.37 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。

つり合いと適合条件

TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·1.5/3.5 = 107.1 N·m
TB = 250·2/3.5 = 142.9 N·m

最大せん断応力

2 つのトルクのうち大きい方で決まります（直径が同じ場合）。

τmax = 16·142857/(π·40³) = 11.37 MPa

答え

τmax = 11.37 MPa
5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 100 kN, R2 = 75 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 170, MC = 280, MD = 330 kN·m, ME = 270, MF = 150, MG = 0

答え

点 D: MD = 330 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 78 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 40·2 + 10·5·2.5
RB = 205/5 = 41 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 41 = 49 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(2⁻) = RA − w·2 = 29 kN
V(2⁺) = 29 − 40 = −11 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 49·2 − 10·2²/2 = 78 kN·m

答え

Mmax = 78 kN·m

それは A から x = 2 m の位置に生じます。

7.図心と断面二次モーメント

答え: r = 55.17 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

A = π(D² − d²)/4 = 1960 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5.967 × 10⁶ mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(5.967 × 10⁶/1960) = 55.17 mm

答え

r = 55.17 mm
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 41.97 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (22500·75 − 800·90)/(22500 − 800) = 74.45 mm

ȳ まわりの全体の板

150·150³/12 + 22500·0.553² = 42.19 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

40·20³/12 + 800·15.55² = 0.2202 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 41.97 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 41.97 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 93.94 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((−60 − 110)/2)² + 40²) = 93.94 MPa

答え

τmax = 93.94 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 4.25

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

σxyCσ1​σ2​

主応力

C = 60 MPa, R = 22.36 MPa
σ1 = 82.36 MPa, σ2 = 37.64 MPa, σ3 = 0

トレスカ

σmax − σmin = 82.36 MPa
n = 350/82.36 = 4.25

答え

n = 4.25

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

11.はりのたわみ

答え: δ = 15.24 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 8·4000⁴/(8·1.68 × 10¹³) = 15.24 mm

答え

δ = 15.24 mm
12.はりのたわみ

答え: RB = 45 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·8/8 = 45 kN

答え

RB = 45 kN
13.柱の座屈

答え: Pcr = 9.212 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/2000² = 9212 N = 9.212 kN

答え

Pcr = 9.212 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 64.45 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/20 = 175

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/175² = 64.45 MPa

答え

σcr = 64.45 MPa

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