材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 12 mm鋼0.5 mP = 95 kN

軸荷重を受ける鋼製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 95 kNd = 12 mmL = 0.5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø25100 GPaØ120/50400 mm

鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa、許容応力 120 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 120 mm、内径 50 mm、E = 100 GPa、許容応力 50 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
T = 250 N·md = 25 mmL = 0.5 mφ = ?

黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 250 N·md = 25 mmL = 0.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
Td = ?

中実軸が 300 rpm で 30 kW を伝達し、せん断応力が 40 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 30 kWN = 300 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 80 kNP2​ = 45 kNABC4 m1 m1 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 荷重 P1 の位置における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP1 = 80 kN 位置 4 mP2 = 45 kN 位置 6 m支点の位置 x = 0 と x = 5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 10 kN/mP = 50 kNAB4 m2 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 6 mP = 50 kN 位置 4 mw = 10 kN/m（0 から 6 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
120 mm200 mm80 mmØ50xIx​ = ?

120 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 50 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 80 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 120 mmh = 200 mmd = 50 mm穴の中心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
2602530018x負の M寸法の単位：mm

鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 40 MPa、圧縮で 120 MPa である。 はりが負担できる最大の負の曲げモーメント Mallow を求めよ（大きさで答えよ）。

bf = 260 mmtf = 25 mmtw = 18 mmhw = 300 mmσt,allow = 40 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 80σy​ = 70τxy​ = −20MPa

ある点で σₓ = 80 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。要素を時計回りに 30°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。

σx = 80 MPaσy = 70 MPaτxy = −20 MPaθ = -30°
σy′ = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
20°D = 1000 mm, t = 5 mm, p = 0.5 MPap

内径 1000 mm、肉厚 5 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 0.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 20° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。

D = 1000 mmt = 5 mmp = 0.5 MPaα = 20°
σn = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 12 kN/mδL = 6 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 12 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 3 kN/mABδ6 m

幅 125 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 3 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 125 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 1.5 md = 25 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 4 md = 60 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 2.1 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 95·1000/113.1 = 840 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 840/200000 = 0.0042 = 4200 µε

伸び

δ = ε·L = 0.0042·500 mm = 2.1 mm

答え

δ = 2.1 mm
2.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 516.4 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·9346 = 1.033 × 10⁹ N

支配するひずみ

ε = min(0.0006, 0.0005) = 0.0005 (黄銅)

最大荷重

Pmax = 0.0005·1.033 × 10⁹ = 516399 N = 516.4 kN

答え

Pmax = 516.4 kN
3.軸のねじり

答え: φ = 4.789 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(39000·38350) = 0.08358 rad
φ = 0.08358·180/π = 4.789°

答え

φ = 4.789°
4.軸のねじり

答え: d = 49.54 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·40)) = 49.54 mm

答え

d = 49.54 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 28 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。

ΣMA = 0: RB·5 = 80·4 + 45·6
RB = 590/5 = 118 kN
ΣFy = 0: RA = 125 − 118 = 7 kN

P1 の位置で切断し、左側を残す

Mx = RA·4 = 7·4 = 28 kN·m

答え

Mx = 28 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 106.7 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·4 + 10·6·3
RB = 380/6 = 63.33 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 63.33 = 46.67 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(4⁻) = RA − w·4 = 6.667 kN
V(4⁺) = 6.667 − 50 = −43.33 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 46.67·4 − 10·4²/2 = 106.7 kN·m

答え

Mmax = 106.7 kN·m

それは A から x = 4 m の位置に生じます。

7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 78.84 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (24000·100 − 1963·80)/(24000 − 1963) = 101.8 mm

ȳ まわりの全体の板

120·200³/12 + 24000·−1.782² = 80.08 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·50⁴/64 + 1963·−21.78² = 1.238 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 78.84 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 78.84 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Mallow = 55.07 kN·m

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

図心

ȳ = (6500·312.5 + 5400·150)/11900 = 238.8 mm
上縁: c = 325 − 238.8 = 86.24 mm

断面二次モーメント

I = 260·25³/12 + 6500·73.74² + 18·300³/12 + 5400·88.76² = 1.187 × 10⁸ mm⁴

各縁で許容されるモーメント

負の曲げ：上側は引張、下側は圧縮です。

上縁: M = 40·1.187 × 10⁸/86.24 = 55.07 kN·m
下縁: M = 120·1.187 × 10⁸/238.8 = 59.67 kN·m

決定値

Mallow = min = 55.07 kN·m (上縁)

答え

Mallow = 55.07 kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σy′ = 55.18 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

y′ 面の座標変換の式

σy′ = 75 − 5·0.5 − (−20)·(−0.866) = 55.18 MPa

確認

垂直応力の和は回転しても変わりません。

σx′ = 94.82 MPa, σx′ + σy′ = 150 = σx + σy

答え

σy′ = 55.18 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σn = 47.08 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。

壁の応力

r = 1000/2 = 500 mm
σh = pr/t = 0.5·500/5 = 50 MPa
σa = pr/(2t) = 25 MPa

継目への座標変換

x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。

σn = 25·sin²20° + 50·cos²20° = 47.08 MPa

答え

σn = 47.08 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 24.11 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 6000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·6000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 24.11 mm

答え

δmax = 24.11 mm
12.はりのたわみ

答え: hreq = 280.6 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 3 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·6000⁴/(384·11000·20) = 2.301 × 10⁸ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·2.301 × 10⁸/125)1/3 = 280.6 mm

答え

hreq = 280.6 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

13.柱の座屈

答え: Pcr = 34.33 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1050² = 34331 N = 34.33 kN

答え

Pcr = 34.33 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 56.65 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/15 = 186.7

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/186.7² = 56.65 MPa

答え

σcr = 56.65 MPa

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