軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.2 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 100 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 500 N·md = 40 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 500 rpm で 5 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 5 kWN = 500 rpmdo = 50 mmdi = 35 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
45 kN @ 8 m5 kN/m, 0–12 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mP = 25 kN 位置 3 mw = 6 kN/m（0 から 8 m まで）x = 3 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 140 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 40 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。
bf = 300 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 260 mmM = 40 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 90 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 90 MPaσy = −70 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 0 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 50° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 0 MPaσy = −80 MPaτxy = 60 MPaθ = 50°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 0.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 11 kNa = 0.5 mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
幅 125 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 3 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 125 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 34.95 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1257) = 2.894 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.2/5.723 × 10⁻⁶ = 34946 N = 34.95 kN
答え
P = 34.95 kN
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 24.32 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 110000·1257/500 = 276460 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 100000·276460/904779 = 30556 N
応力
σ2 = 30556/1257 = 24.32 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 24.32 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 1.71 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(80000·251327) = 0.02984 rad
φ = 0.02984·180/π = 1.71°
答え
φ = 1.71°
4.軸のねじり
答え: τmax = 5.12 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 5000/52.36 = 95.49 N·m
断面二次極モーメント
J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 95493·25/466269 = 5.12 MPa
答え
τmax = 5.12 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: E (x = 8 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 45 kN, R2 = 60 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 80, MC = 140, MD = 180, ME = 200 kN·m, MF = 110, MG = 0
答え
点 E: ME = 200 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 91.88 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·3 + 6·8·4
RB = 267/8 = 33.38 kN
ΣFy = 0: RA = 73 − 33.38 = 39.63 kN
x = 3 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 39.63·3 − 6·3·1.5 = 91.88 kN·m
答え
Mx = 91.88 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 32.76 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 140·10 = 1400 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
ウェブ: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1400·285 + 2240·140)/3640 = 195.8 mm
平行軸の定理
フランジ: 140·10³/12 + 1400·(285 − 195.8)² = 1.116 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 8·280³/12 + 2240·(140 − 195.8)² = 2.16 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.116 × 10⁷ + 2.16 × 10⁷ = 3.276 × 10⁷ mm⁴ = 32.76 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 32.76 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ上端 = 29 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 300·30 = 9000 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
ウェブ: Aw = 16·260 = 4160 mm², yw = 260/2 = 130 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (9000·275 + 4160·130)/13160 = 229.2 mm
平行軸の定理
フランジ: 300·30³/12 + 9000·(275 − 229.2)² = 1.958 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 16·260³/12 + 4160·(130 − 229.2)² = 6.434 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.958 × 10⁷ + 6.434 × 10⁷ = 8.393 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
上端は軸から h − ȳ の位置にあります。
y = 290 − 229.2 = 60.84 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·60.84/8.393 × 10⁷ = 29 MPa
答え
σ上端 = 29 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 100 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((90 − −70)/2)² + −60²) = 100 MPa
答え
τmax = 100 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 12.14 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −40 + 40·−0.1736 + 60·0.9848 = 12.14 MPa
答え
σθ = 12.14 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 1.157 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 11000 N, a = 500 mm, L = 2500 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa³/(3EI) = 11000·500³/(3·3.96 × 10¹¹) = 1.157 mm
答え
δP = 1.157 mm
12.はりのたわみ
答え: hreq = 223.6 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 3 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/360 = 4500/360 = 12.5 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·4500⁴/(384·11000·12.5) = 1.165 × 10⁸ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·1.165 × 10⁸/125)1/3 = 223.6 mm
答え
hreq = 223.6 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
13.柱の座屈
答え: Pcr = 34.88 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·1500 = 1500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34.88 kN
答え
Pcr = 34.88 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 19.83 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/7.5 = 186.7
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/186.7² = 19.83 MPa
答え
σcr = 19.83 MPa
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