材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう

黄銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 80 kNd = 20 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

2.軸応力とひずみむずかしい

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。

P = 85 kN区間 1：Ø25 mm、0.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）

δ = mm

3.軸のねじりふつう

鋼製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 50 mm、長さ 0.5 m、区間 BC は直径 20 mm、長さ 0.5 m である。自由端 C にトルク 200 N·m が作用する。端 C のねじれ角 φ_C を度で求めよ。

T = 200 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 0.5 md₂ = 20 mm, L₂ = 0.5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.軸のねじりむずかしい

中実軸が 300 rpm で 75 kW を伝達し、せん断応力が 60 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 75 kWN = 300 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.せん断力と曲げモーメントふつう

片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 2.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。固定端 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 2.5 mP = 65 kN 位置 2.5 mw = 3 kN/m（0 から 2.5 m まで）x = 1 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。支点間の最大の正の曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 6 mw = 2 kN/m（0 から 6 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 5 m

M_max = kN·m

7.図心と断面二次モーメントふつう

対称な I 形断面のフランジは幅 130 mm、厚さ 18 mm、全高は 380 mm、ウェブの厚さは 8 mm である。水平な図心軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

B = 130 mmH = 380 mmt_f = 18 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 15 kN·m を受ける。上端の曲げ応力 σ_上端の大きさを求めよ。

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mmM = 15 kN·m

σ_上端 = MPa

9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 110 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = 60 MPa、σ_z = 0。その点での絶対最大せん断応力 τ_abs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。

σ_x = 110 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

内径 1500 mm、肉厚 5 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 0.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 50° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。溶接継目を横切って作用する垂直応力 σ_n を求めよ。

D = 1500 mmt = 5 mmp = 0.5 MPaα = 50°

σ_n = MPa

11.はりのたわみふつう

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。

P = 16 kNw = 6 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.はりのたわみむずかしい

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。スパン中央に集中荷重 P が作用する。EI は一定である。支点 B の反力 R_B を求めよ。

L = 6 mP = 60 kN 位置 3 m

R_B = kN

13.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 40 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 40 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 2546 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 80·1000/314.2 = 254.6 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 254.6/100000 = 0.002546 = 2546 µε

答え

ε = 2546 µε

2.軸応力とひずみ

答え: δ = 6.286 mm

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 173.2 MPa

σ₂ = 422.8 MPa

各区間の伸びを足す

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 173.2·500/100000 = 0.8658 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 422.8·1500/117000 = 5.42 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6.286 mm

答え

δ = 6.286 mm

3.軸のねじり

答え: φ_C = 4.676 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

各区間のねじれ角

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 200000·500/(80000·613592) = 0.002037 rad

φ_BC = 200000·500/(80000·15708) = 0.07958 rad

全ねじれ角

φ_C = 0.002037 + 0.07958 = 0.08161 rad = 4.676°

答え

φ_C = 4.676°

4.軸のねじり

答え: d = 58.74 mm

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 75000/31.42 = 2387 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·2.387 × 10⁶/(π·60)) = 58.74 mm

答え

d = 58.74 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = −100.9 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

自由端側を残す

P: −65·1.5 = −97.5 kN·m

w: −3·1.5²/2 = −3.375 kN·m

M_x = −97.5 − 3.375 = −100.9 kN·m

答え

M_x = −100.9 kN·m

負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 5.76 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·6·3

R_B = 36/5 = 7.2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 7.2 = 4.8 kN

せん断力 0 の位置

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 4.8/2 = 2.4 m

最大の正の曲げモーメント

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 4.8²/(2·2) = 5.76 kN·m

答え

M_max = 5.76 kN·m

7.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 180.6 × 10⁶ mm⁴

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = I_c + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − t_w)、高さ h_w = H − 2t_f で、軸 x を共有します。

h_w = 380 − 2·18 = 344 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·380³ − 122·344³)/12

I_x = 1.806 × 10⁸ mm⁴ = 180.6 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 180.6 × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメント

答え: σ_上端 = 19.18 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

ウェブ: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·255 + 2880·120)/8280 = 208 mm

平行軸の定理

フランジ: 180·30³/12 + 5400·(255 − 208)² = 1.231 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 12·240³/12 + 2880·(120 − 208)² = 3.615 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.231 × 10⁷ + 3.615 × 10⁷ = 4.846 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 270 − 208 = 61.96 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·61.96/4.846 × 10⁷ = 19.18 MPa

答え

σ_上端 = 19.18 MPa

9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_abs = 87.6 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σ_max − σ_min)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。

面内の主応力

C = 115 MPa, R = √((−5)² + 60²) = 60.21 MPa

σ₁ = 175.2 MPa, σ₂ = 54.79 MPa, σ_z = 0

3 つの円のうち最大のもの

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(120.4, 175.2, 54.79)/2 = 87.6 MPa

答え

τ_abs = 87.6 MPa

ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ_n = 52.99 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σ_h = pr/t、軸方向応力 σ_a = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。

壁の応力

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 0.5·750/5 = 75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 37.5 MPa

継目への座標変換

x を軸方向（σ_a）、y を周方向（σ_h）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。

σ_n = 37.5·sin²50° + 75·cos²50° = 52.99 MPa

答え

σ_n = 52.99 MPa

11.はりのたわみ

答え: δ = 55.04 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 16000 N, w = 6 N/mm, L = 1500 mm

EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

各荷重を単独で

δ_P = PL³/(3EI) = 16000·1500³/(3·3.96 × 10¹¹) = 45.45 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·1500⁴/(8·3.96 × 10¹¹) = 9.588 mm

足し合わせる

δ = 45.45 + 9.588 = 55.04 mm

答え

δ = 55.04 mm

12.はりのたわみ

答え: R_B = 18.75 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支点 B での適合条件

支点反力 R_B だけで自由端は R_BL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·60/16 = 18.75 kN

答え

R_B = 18.75 kN

13.柱の座屈

答え: P_cr = 142.1 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/1250² = 142122 N = 142.1 kN

答え

P_cr = 142.1 kN

14.柱の座屈

答え: d = 46.19 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2.5·40000 = 100000 N

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 46.19 mm

答え

d = 46.19 mm

確認：細長比 KL/r は 181.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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