軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 70 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 800 mm で、剛な板の間で 100 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 100 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 120 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 30 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 2000 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.6 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 2000 N·mdi/do = 0.6τallow = 80 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
アルミニウム製の中実軸が 1500 rpm で 20 kW を伝達する。せん断応力は 40 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.5° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 20 kWN = 1500 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0.5°/mG = 26 GPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 3.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mw = 4 kN/m（0 から 5 m まで）x = 3.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 A から曲げモーメントが最大となる断面までの距離 x0 を求めよ。
L = 6 mw = 10 kN/m（0 から 3 m まで）
x0 = m
7.図心と断面二次モーメントふつう
溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 300 mm の底板と、全高 200 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 14 mm である。 図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
b = 300 mmh = 200 mmt = 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm × 240 mm の板に、幅 30 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 72 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 240 mm切り欠き: 30 × 20 mm穴の中心: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 0 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = 10 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 0 MPaσy = 50 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 60 mm の中実軸が軸引張力 190 kNとトルク 1000 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 60 mmF = 190 kNT = 1000 N·m
σ1 = MPa
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。
w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
幅 75 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/250 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 1 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 75 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 60 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 60 kNn = 2L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.1485 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·4006 = 5.388 × 10⁸ N
縮み
δ = 100000·800/5.388 × 10⁸ = 0.1485 mm
答え
δ = 0.1485 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 13.4 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·706.9/600 = 235619 N/mm
k₂ = 120000·1257/500 = 301593 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 30000·301593/537212 = 16842 N
応力
σ2 = 16842/1257 = 13.4 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 13.4 MPa
3.軸のねじり
答え: do = 52.69 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·80·0.8704)) = 52.69 mm
di = 0.6·52.69 = 31.61 mm
答え
do = 52.69 mm
中実軸なら d = 50.31 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: d = 48.9 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 20000/157.1 = 127.3 N·m
強度から決まる直径
T = 127.3 N·m = 127324 N·mm
dτ = ∛(16·127324/(π·40)) = 25.31 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·127324/(π·26000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 48.9 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(25.31, 48.9) = 48.9 mm
答え
d = 48.9 mm
ここでは剛性で決まります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 10.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 4·5·2.5
RB = 50/5 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
x = 3.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 10·3.5 − 4·3.5·1.75 = 10.5 kN·m
答え
Mx = 10.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: x0 = 2.25 m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN、作用点 x̄ = 1.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·3·1.5
RB = 45/6 = 7.5 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 7.5 = 22.5 kN
せん断力 0 の位置
せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。
RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 22.5/10 = 2.25 m
答え
x0 = 2.25 m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 38.33 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
長方形に分割
底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。
基剤: A1 = 300·14 = 4200 mm², y1 = 7 mm
2 本の脚: A2 = 2·14·186 = 5208 mm², y2 = 14 + 186/2 = 107 mm
図心
ȳ = (4200·7 + 5208·107)/9408 = 62.36 mm
平行軸の定理
基剤: 300·14³/12 + 4200·(7 − 62.36)² = 1.294 × 10⁷ mm⁴
2 本の脚: 2·14·186³/12 + 5208·(107 − 62.36)² = 2.539 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.294 × 10⁷ + 2.539 × 10⁷
Ix = 3.833 × 10⁷ mm⁴ = 38.33 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 38.33 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 136.8 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (28800·120 − 600·72)/(28800 − 600) = 121 mm
ȳ まわりの全体の板
120·240³/12 + 28800·−1.021² = 138.3 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
30·20³/12 + 600·−49.02² = 1.462 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 136.8 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 136.8 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 26.93 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((0 − 50)/2)² + 10²) = 26.93 MPa
答え
τmax = 26.93 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 74.65 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = 190000/(π·60²/4) = 190000/2827 = 67.2 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·60³) = 23.58 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 33.6 MPa
R = √(33.6² + 23.58²) = 41.05 MPa
σ1 = C + R = 74.65 MPa
σ2 = C − R = −7.448 MPa
答え
σ1 = 74.65 MPa
11.はりのたわみ
答え: δ = 12.12 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 8 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²
たわみ
δ = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·1.32 × 10¹²) = 12.12 mm
答え
δ = 12.12 mm
12.はりのたわみ
答え: hreq = 162.8 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 1 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/250 = 4500/250 = 18 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·4500⁴/(384·11000·18) = 2.697 × 10⁷ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·2.697 × 10⁷/75)1/3 = 162.8 mm
答え
hreq = 162.8 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
13.柱の座屈
答え: Pcr = 109.9 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109.9 kN
答え
Pcr = 109.9 kN
14.柱の座屈
答え: d = 68.58 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·60000 = 120000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 68.58 mm
答え
d = 68.58 mm
確認：細長比 KL/r は 145.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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