材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう

棒が、鋼の区間（直径 40 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、黄銅でできた区間（直径 60 mm、長さ 300 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.3 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

2.軸応力とひずみむずかしい

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σ_max を求めよ。

P = 95 kN区間 1：Ø25 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø16 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）

σ_max = MPa

3.軸のねじりふつう

鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 100 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.軸のねじりむずかしい

中実軸が 3000 rpm で 50 kW を伝達し、せん断応力が 75 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 50 kWN = 3000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

60 kN @ 8 m60 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 5 mP = 60 kN 位置 3 mw = 3 kN/m（0 から 5 m まで）

M_max = kN·m

7.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメントむずかしい

鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 50 MPa、圧縮で 100 MPa である。はりが負担できる最大の正の曲げモーメント M_allow を求めよ。

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 50 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = 50 MPa、σ_z = 0。その点での絶対最大せん断応力 τ_abs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。

σ_x = 50 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 110 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（σ_z = 0）。材料の降伏強さは 275 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σ_x = 110 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δ_max を求めよ。

w = 5 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント I_req を求めよ。

w = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 25 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 25 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: P = 133.1 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

柔軟性

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1.194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·2827) = 1.061 × 10⁻⁶ mm/N

荷重

P = 0.3/2.255 × 10⁻⁶ = 133056 N = 133.1 kN

答え

P = 133.1 kN

2.軸応力とひずみ

答え: σ_max = 472.5 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 193.5 MPa

σ₂ = 472.5 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σ_max = 472.5 MPa

答え

σ_max = 472.5 MPa

3.軸のねじり

答え: φ = 0.5699 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(80000·251327) = 0.009947 rad

φ = 0.009947·180/π = 0.5699°

答え

φ = 0.5699°

4.軸のねじり

答え: d = 22.11 mm

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·75)) = 22.11 mm

答え

d = 22.11 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 8 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 70 kN, R₂ = 50 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 140, M_C = 160, M_D = 180, M_E = 200 kN·m, M_F = 100, M_G = 0

答え

点 E: M_E = 200 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 81 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN、作用点 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 60·3 + 3·5·2.5

R_B = 217.5/5 = 43.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 43.5 = 31.5 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(3⁻) = R_A − w·3 = 22.5 kN

V(3⁺) = 22.5 − 60 = −37.5 kN

荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 31.5·3 − 3·3²/2 = 81 kN·m

答え

M_max = 81 kN·m

それは A から x = 3 m の位置に生じます。

7.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 29.08 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192.5 mm

ウェブ: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·192.5 + 2880·90)/9380 = 161 mm

平行軸の定理

フランジ: 260·25³/12 + 6500·(192.5 − 161)² = 6.776 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 16·180³/12 + 2880·(90 − 161)² = 2.231 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.776 × 10⁶ + 2.231 × 10⁷ = 2.908 × 10⁷ mm⁴ = 29.08 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 29.08 × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメント

答え: M_allow = 19.34 kN·m

図心

ȳ = (2500·312.5 + 4800·150)/7300 = 205.7 mm

上縁: c = 325 − 205.7 = 119.3 mm

断面二次モーメント

I = 100·25³/12 + 2500·106.8² + 16·300³/12 + 4800·55.65² = 7.954 × 10⁷ mm⁴

各縁で許容されるモーメント

正の曲げ：上側は圧縮、下側は引張です。

上縁: M = 100·7.954 × 10⁷/119.3 = 66.64 kN·m

下縁: M = 50·7.954 × 10⁷/205.7 = 19.34 kN·m

決定値

M_allow = min = 19.34 kN·m (下縁)

答え

M_allow = 19.34 kN·m

9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τ_abs = 61.93 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σ_max − σ_min)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。

面内の主応力

C = 70 MPa, R = √((−20)² + 50²) = 53.85 MPa

σ₁ = 123.9 MPa, σ₂ = 16.15 MPa, σ_z = 0

3 つの円のうち最大のもの

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(107.7, 123.9, 16.15)/2 = 61.93 MPa

答え

τ_abs = 61.93 MPa

ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 2.174

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σ_Y に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σ_Y/2 に達したときに降伏すると予測します。

主応力

C = 115 MPa, R = 30.41 MPa

σ₁ = 145.4 MPa, σ₂ = 84.59 MPa, σ₃ = 0

ミーゼス

σ_vM = √(145.4² − 145.4·84.59 + 84.59²) = 126.5 MPa

n = 275/126.5 = 2.174

答え

n = 2.174

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

11.はりのたわみ

答え: δ_max = 31.75 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 8000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 31.75 mm

答え

δ_max = 31.75 mm

12.はりのたわみ

答え: I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

たわみの制限

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·8000⁴/(384·200000·22.22) = 1.8 × 10⁸ mm⁴

I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

答え

I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

13.柱の座屈

答え: P_cr = 5.118 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·3000 = 3000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/3000² = 5118 N = 5.118 kN

答え

P_cr = 5.118 kN

14.柱の座屈

答え: d = 42.38 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2·25000 = 50000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 42.38 mm

答え

d = 42.38 mm

確認：細長比 KL/r は 236 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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