軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 120 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 800 mm で、剛な板の間で 50 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 50 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 20 kN区間 1：Ø25 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、0.5 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 200 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 50 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 200 N·mdi/do = 0.7τallow = 50 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
直径 30 mm の黄銅製の中実軸が A で固定されている。A から 1.2 m の B にトルク 200 N·m が作用し、さらに 1.5 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 100 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 30 mmTB = 200 N·mTC = 100 N·mAB = 1.2 mBC = 1.5 m
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 4.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mw = 4 kN/m（0 から 5 m まで）x = 4.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
10 kN @ 6 m30 kN @ 1 m12 kN/m, 0–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 280 mmtf = 10 mmtw = 12 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 20 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。
bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 18 mmhw = 200 mmM = 20 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −30 MPa、σᵧ = 30 MPa である。最大主応力が 50 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = −30 MPaσy = 30 MPaσ1 = 50 MPa
τxy = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 110 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 15° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 110 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPaθ = 15°
τθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 2 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 135 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 135 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.04716 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·5890 = 8.482 × 10⁸ N
縮み
δ = 50000·800/8.482 × 10⁸ = 0.04716 mm
答え
δ = 0.04716 mm
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.9594 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 40.74 MPa
σ2 = 176.8 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 40.74·1000/200000 = 0.2037 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 176.8·500/117000 = 0.7557 mm
δ = δ1 + δ2 = 0.9594 mm
答え
δ = 0.9594 mm
3.軸のねじり
答え: do = 29.93 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 200 N·m = 200000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·50·0.7599)) = 29.93 mm
di = 0.7·29.93 = 20.95 mm
答え
do = 29.93 mm
中実軸なら d = 27.31 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: τmax = 18.86 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC − TB = 100 − 200 = −100 N·m
最大せん断応力
内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。
|T|max = 100 N·m
τmax = 16·100000/(π·30³) = 18.86 MPa
答え
τmax = 18.86 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 4.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 4·5·2.5
RB = 50/5 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
x = 4.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 10·4.5 − 4·4.5·2.25 = 4.5 kN·m
答え
Mx = 4.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: B (x = 1 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 41.5 kN, R2 = 46.5 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 35.5 kN·m, MC = 29, MD = 10.5, ME = −20, MF = −10, MG = 0
答え
点 B: MB = 35.5 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 22.27 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 280·10 = 2800 mm², yf = 200 + 10/2 = 205 mm
ウェブ: Aw = 12·200 = 2400 mm², yw = 200/2 = 100 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·205 + 2400·100)/5200 = 156.5 mm
平行軸の定理
フランジ: 280·10³/12 + 2800·(205 − 156.5)² = 6.599 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 12·200³/12 + 2400·(100 − 156.5)² = 1.567 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6.599 × 10⁶ + 1.567 × 10⁷ = 2.227 × 10⁷ mm⁴ = 22.27 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 22.27 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ上端 = 51.22 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 100·25 = 2500 mm², yf = 200 + 25/2 = 212.5 mm
ウェブ: Aw = 18·200 = 3600 mm², yw = 200/2 = 100 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2500·212.5 + 3600·100)/6100 = 146.1 mm
平行軸の定理
フランジ: 100·25³/12 + 2500·(212.5 − 146.1)² = 1.115 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 18·200³/12 + 3600·(100 − 146.1)² = 1.965 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.115 × 10⁷ + 1.965 × 10⁷ = 3.08 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
上端は軸から h − ȳ の位置にあります。
y = 225 − 146.1 = 78.89 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·78.89/3.08 × 10⁷ = 51.22 MPa
答え
σ上端 = 51.22 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 40 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (−30 + 30)/2 = 0 MPa
R = σ1 − C = 50 − 0 = 50 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 30²) = 40 MPa
答え
τxy = 40 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = −4.019 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −60·0.5 + 30·0.866 = −4.019 MPa
答え
τθ = −4.019 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 9.574 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 9.574 mm
答え
δmax = 9.574 mm
12.はりのたわみ
答え: Ireq = 16.74 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·5000⁴/(384·70000·13.89) = 1.674 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 16.74 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 16.74 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈
答え: Pcr = 86.82 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·4000 = 4000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2.011 × 10⁶/4000² = 86818 N = 86.82 kN
答え
Pcr = 86.82 kN
14.柱の座屈
答え: d = 80.82 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·135000 = 337500 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 80.82 mm
答え
d = 80.82 mm
確認：細長比 KL/r は 173.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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