材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 10 mm黄銅2 mP = 95 kN

軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 95 kNd = 10 mmL = 2 mE = 100 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø2070 GPaØ100/50400 mm

鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 120 MPa）が、アルミニウム でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 70 GPa、許容応力 70 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
T = 1000 N·md = 30 mmL = 0.8 mφ = ?

鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 1000 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
d = ?75 kW, 500 rpm

黄銅製の中実軸が 500 rpm で 75 kW を伝達する。せん断応力は 80 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 1° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。

P = 75 kWN = 500 rpmτallow = 80 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
M0​ = 10 kN·mAB5 m3 m

単純ばりに、A から x = 5 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 10 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ左側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 8 mM0 = 10 kN·m 時計回り、位置 5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
12 kN/m50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

50 kN @ 6 m12 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
150 mm300 mm90 mmØ40xIx​ = ?

150 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 40 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 90 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 150 mmh = 300 mmd = 40 mm穴の中心: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
10015020210208x寸法の単位：mm

溶接 I 形断面は、上フランジ 100 × 20 mm、高さ 210 mm・厚さ 8 mm のウェブ、下フランジ 150 × 20 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

上フランジ: 100 × 20 mmウェブ: 8 × 210 mm下フランジ: 150 × 20 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −80σy​ = −30τxy​ = −30MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −80 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σx = −80 MPaσy = −30 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 20σy​ = 0τxy​ = −10MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 20 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 35° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。

σx = 20 MPaσy = 0 MPaτxy = −10 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 15 kN/mδL = 8 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
P = 60 kNAB2 m2 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。スパン中央に集中荷重 P が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。

L = 4 mP = 60 kN 位置 2 m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
PL = 4 m25 × 40 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 130 kNL = 2.5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2.5 で 130 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 130 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 24.19 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 95·1000/78.54 = 1210 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1210/100000 = 0.0121 = 12096 µε

伸び

δ = ε·L = 0.0121·2000 mm = 24.19 mm

答え

δ = 24.19 mm
2.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 285.1 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·5890 = 4.752 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.0006, 0.001) = 0.0006 (鋼)

最大荷重

Pmax = 0.0006·4.752 × 10⁸ = 285100 N = 285.1 kN

答え

Pmax = 285.1 kN
3.軸のねじり

答え: φ = 7.205 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(80000·79522) = 0.1258 rad
φ = 0.1258·180/π = 7.205°

答え

φ = 7.205°
4.軸のねじり

答え: d = 68.04 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 75000/52.36 = 1432 N·m

強度から決まる直径

T = 1432 N·m = 1.432 × 10⁶ N·mm
dτ = ∛(16·1.432 × 10⁶/(π·80)) = 45.01 mm

剛性から決まる直径

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·1.432 × 10⁶/(π·39000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 68.04 mm

決定する直径

両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。

d = max(45.01, 68.04) = 68.04 mm

答え

d = 68.04 mm

ここでは剛性で決まります。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = −6.25 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 10/8 = 1.25 kN (上向き)
RA = −RB = −1.25 kN (下向き)

偶力のすぐ左で切断

左側部分には RA だけが含まれます。

Mx = RA·a = −1.25·5 = −6.25 kN·m

答え

Mx = −6.25 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: F (x = 5 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 20 kN, R2 = 90 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 14, MC = 16, MD = 6, ME = −16, MF = −50 kN·m, MG = 0

答え

点 F: MF = −50 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 332.7 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (45000·150 − 1257·90)/(45000 − 1257) = 151.7 mm

ȳ まわりの全体の板

150·300³/12 + 45000·−1.724² = 337.6 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·40⁴/64 + 1257·−61.72² = 4.913 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 332.7 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 332.7 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 70.49 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 2000 mm², y = 240 mm
ウェブ: A = 1680 mm², y = 125 mm
下フランジ: A = 3000 mm², y = 10 mm

図心

ȳ = (2000·240 + 1680·125 + 3000·10)/6680 = 107.8 mm

平行軸の定理

上フランジ: 100·20³/12 + 2000·132.2² = 3.503 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 8·210³/12 + 1680·17.22² = 6.672 × 10⁶ mm⁴
下フランジ: 150·20³/12 + 3000·97.78² = 2.879 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.503 × 10⁷ + 6.672 × 10⁶ + 2.879 × 10⁷
Ix = 7.049 × 10⁷ mm⁴ = 70.49 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 70.49 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θp = −64.9 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCσ1​σ2​

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θp = atan2(2·−30, −80 − −30) = −129.8°

要素上の角度

θp = −64.9°

答え

θp = −64.9°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σθ = 4.023 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

σθ = 10 + 10·0.342 + −10·0.9397 = 4.023 MPa

答え

σθ = 4.023 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 70.18 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 8000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·8000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 70.18 mm

答え

δmax = 70.18 mm
12.はりのたわみ

答え: RB = 18.75 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·60/16 = 18.75 kN

答え

RB = 18.75 kN
13.柱の座屈

答え: Pcr = 8.996 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/2000² = 8996 N = 8.996 kN

答え

Pcr = 8.996 kN
14.柱の座屈

答え: d = 95.69 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·130000 = 325000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 95.69 mm

答え

d = 95.69 mm

確認：細長比 KL/r は 209 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials