軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.5 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 200 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 20 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中空軸（外径 50 mm、内径 38 mm、長さ 0.8 m）が一端で固定され、他端でトルク 1000 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1000 N·mdo = 50 mmdi = 38 mmL = 0.8 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 500 rpm で 5 kW を伝達し、せん断応力が 50 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 5 kWN = 500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 2 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mw = 6 kN/m（0 から 5 m まで）x = 2 m
Vx = kN
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 5 mw = 8 kN/m（2 から 4 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
100 mm × 240 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 84 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 240 mmd = 60 mm穴の中心: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 40 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。
bf = 280 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 180 mmM = 40 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −70 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = −70 MPaσy = 100 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 70 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = 50 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 300 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 70 MPaσy = 50 MPaτxy = 50 MPaσY = 300 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 15 kNw = 2 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 3 で 10 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 10 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 38.16 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314.2) = 7.958 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·706.9) = 5.144 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.5/1.31 × 10⁻⁵ = 38162 N = 38.16 kN
答え
P = 38.16 kN
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 7.195 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm
k₂ = 110000·1257/200 = 691150 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 20000·691150/1.529 × 10⁶ = 9041 N
応力
σ2 = 9041/1257 = 7.195 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 7.195 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 4.312 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴
ねじれ角
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·800/(26000·408885) = 0.07525 rad
φ = 0.07525·180/π = 4.312°
答え
φ = 4.312°
4.軸のねじり
答え: d = 21.35 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 5000/52.36 = 95.49 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·95493/(π·50)) = 21.35 mm
答え
d = 21.35 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Vx = 3 kN
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 6·5·2.5
RB = 75/5 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
x = 2 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 15 − 6·2 = 3 kN
答え
Vx = 3 kN
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 15.36 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 8·2·3
RB = 48/5 = 9.6 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 9.6 = 6.4 kN
せん断力 0 の位置
せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。
RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 6.4/8 = 2.8 m
最大モーメント
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 6.4·2.8 − 8·0.8²/2 = 15.36 kN·m
答え
Mmax = 15.36 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 110.4 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (24000·120 − 2827·84)/(24000 − 2827) = 124.8 mm
ȳ まわりの全体の板
100·240³/12 + 24000·−4.808² = 115.8 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·60⁴/64 + 2827·−40.81² = 5.345 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 110.4 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 110.4 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ上端 = 83.43 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 280·15 = 4200 mm², yf = 180 + 15/2 = 187.5 mm
ウェブ: Aw = 12·180 = 2160 mm², yw = 180/2 = 90 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·187.5 + 2160·90)/6360 = 154.4 mm
平行軸の定理
フランジ: 280·15³/12 + 4200·(187.5 − 154.4)² = 4.684 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 12·180³/12 + 2160·(90 − 154.4)² = 1.479 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4.684 × 10⁶ + 1.479 × 10⁷ = 1.947 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
上端は軸から h − ȳ の位置にあります。
y = 195 − 154.4 = 40.61 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·40.61/1.947 × 10⁷ = 83.43 MPa
答え
σ上端 = 83.43 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = −80.28 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·−30, −70 − 100) = −160.6°
要素上の角度
θp = −80.28°
答え
θp = −80.28°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 2.703
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 60 MPa, R = 50.99 MPa
σ1 = 111 MPa, σ2 = 9.01 MPa, σ3 = 0
トレスカ
σmax − σmin = 111 MPa
n = 300/111 = 2.703
答え
n = 2.703
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
11.はりのたわみ
答え: δmax = 16.67 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 12 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 16.67 mm
答え
δmax = 16.67 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 2.458 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 15000 N, w = 2 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 15000·2500³/(48·2.4 × 10¹²) = 2.035 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2500⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 0.4239 mm
足し合わせる
δmax = 2.035 + 0.4239 = 2.458 mm
答え
δmax = 2.458 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 5.895 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/2500² = 5895 N = 5.895 kN
答え
Pcr = 5.895 kN
14.柱の座屈
答え: d = 52.75 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·10000 = 30000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 52.75 mm
答え
d = 52.75 mm
確認：細長比 KL/r は 379.2 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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