軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 40 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 50 kN区間 1：Ø40 mm、0.5 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø20 mm、0.5 m、鋼（E = 200 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中空軸（外径 80 mm、内径 56 mm、長さ 3 m）が一端で固定され、他端でトルク 1000 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1000 N·mdo = 80 mmdi = 56 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 3000 rpm で 100 kW を伝達し、せん断応力が 60 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 100 kWN = 3000 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 Aにおける曲げモーメント MA を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 2.5 mP = 60 kN 位置 2 mw = 6 kN/m（0 から 2.5 m まで）
MA = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP = 50 kN 位置 3.5 mw = 12 kN/m（0 から 5 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
中空長方形（箱形）断面の外幅は B = 180 mm、外高は H = 200 mm、壁厚は一様に t = 18 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。
B = 180 mmH = 200 mmt = 18 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
対称な I 形断面のフランジは幅 110 mm、厚さ 16 mm、全高は 420 mm、ウェブの厚さは 12 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 30 kN·m を受ける。 ウェブと上フランジの接合部における曲げ応力の大きさ σj を求めよ。
B = 110 mmH = 420 mmtf = 16 mmtw = 12 mmM = 30 kN·m
σj = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −20 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = −20 MPaσy = 90 MPaτxy = −30 MPa
θs = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 70 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 50° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 70 MPaσy = 110 MPaτxy = −30 MPaθ = 50°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。
P = 11 kNw = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりの支点 B から b = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 スパン中央のたわみ δmid を求めよ。
P = 5 kNb = 1.5 mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 1.273 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 40·1000/314.2 = 127.3 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 127.3/100000 = 0.001273 = 1273 µε
伸び
δ = ε·L = 0.001273·1000 mm = 1.273 mm
答え
δ = 1.273 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 159.2 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 39.79 MPa
σ2 = 159.2 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 159.2 MPa
答え
σmax = 159.2 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 2.163 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3.056 × 10⁶ mm⁴
ねじれ角
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·3000/(26000·3.056 × 10⁶) = 0.03776 rad
φ = 0.03776·180/π = 2.163°
答え
φ = 2.163°
4.軸のねじり
答え: d = 30.01 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 100000/314.2 = 318.3 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·60)) = 30.01 mm
答え
d = 30.01 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: MA = −138.8 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
自由端側を残す
P: −60·2 = −120 kN·m
w: −6·2.5²/2 = −18.75 kN·m
MA = −120 − 18.75 = −138.8 kN·m
答え
MA = −138.8 kN·m
負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 21 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 50·3.5 + 12·5·2.5
RB = 325/5 = 65 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 65 = 45 kN
x = 0.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 45·0.5 − 12·0.5·0.25 = 21 kN·m
答え
Mx = 21 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: r = 73.59 mm
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。
正味の断面積と断面二次モーメント
b = 144 mm, h = 164 mm
A = BH − bh = 180·200 − 144·164 = 12384 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 6.707 × 10⁷ mm⁴
断面二次半径
r = √(I/A) = √(6.707 × 10⁷/12384) = 73.59 mm
答え
r = 73.59 mm
8.図心と断面二次モーメント
答え: σj = 28.8 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 420 − 2·16 = 388 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (110·420³ − 98·388³)/12
Ix = 2.021 × 10⁸ mm⁴
曲げ応力
y = 210 − 16 = 194 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·194/2.021 × 10⁸ = 28.8 MPa
答え
σj = 28.8 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = 59.31 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = −30/62.65 = −0.4789, sin 2θs = −(−55)/62.65 = 0.8779
2θs = atan2(55, −30) = 118.6°
要素上の角度
θs = 59.31°
確認: θs − θp = 59.31 − (−75.69) = 135°
答え
θs = 59.31°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 63.93 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 90 + −20·−0.1736 + −30·0.9848 = 63.93 MPa
答え
σθ = 63.93 MPa
11.はりのたわみ
答え: δ = 8.254 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 11000 N, w = 20 N/mm, L = 2000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(3EI) = 11000·2000³/(3·8.4 × 10¹²) = 3.492 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 20·2000⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 4.762 mm
足し合わせる
δ = 3.492 + 4.762 = 8.254 mm
答え
δ = 8.254 mm
12.はりのたわみ
答え: δmid = 2.585 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 5000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
中央たわみ
δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 5000·1500·(3·5000² − 4·1500²)/(48·3.99 × 10¹²) = 2.585 mm
答え
δmid = 2.585 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 135.7 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1250² = 135652 N = 135.7 kN
答え
Pcr = 135.7 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 49.35 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/15 = 200
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa
答え
σcr = 49.35 MPa
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