軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 30 kNd = 10 mmL = 3 mE = 70 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 80 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
黄銅製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 75 mm、長さ 1 m、区間 BC は直径 40 mm、長さ 1.5 m である。自由端 C にトルク 200 N·m が作用する。 端 C のねじれ角 φC を度で求めよ。
T = 200 N·md1 = 75 mm, L1 = 1 md2 = 40 mm, L2 = 1.5 mG = 39 GPa
φC = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 500 rpm で 100 kW を伝達し、せん断応力が 60 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 100 kWN = 500 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
45 kN @ 6 m40 kN @ 10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mP = 50 kN 位置 1 mw = 3 kN/m（0 から 4 m まで）x = 1 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 220 mmtf = 20 mmtw = 12 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm × 200 mm の板に、幅 30 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 80 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 200 mm切り欠き: 30 × 40 mm穴の中心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −50 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = −50 MPaσy = −10 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 120 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −30 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 460 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 120 MPaσy = −20 MPaτxy = −30 MPaσY = 460 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。
P = 10 kNw = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 23 kNw = 4 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 20 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 5457 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 30·1000/78.54 = 382 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 382/70000 = 0.005457 = 5457 µε
答え
ε = 5457 µε
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 32.7 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 110000·1257/400 = 345575 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 80000·345575/672824 = 41089 N
応力
σ2 = 41089/1257 = 32.7 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 32.7 MPa
3.軸のねじり
答え: φC = 1.848 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J1 = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
各区間のねじれ角
T = 200 N·m = 200000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 200000·1000/(39000·3.106 × 10⁶) = 0.001651 rad
φBC = 200000·1500/(39000·251327) = 0.03061 rad
全ねじれ角
φC = 0.001651 + 0.03061 = 0.03226 rad = 1.848°
答え
φC = 1.848°
4.軸のねじり
答え: d = 54.53 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1.91 × 10⁶/(π·60)) = 54.53 mm
答え
d = 54.53 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: D (x = 6 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 29.17 kN, R2 = 55.83 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 58.33, MC = 116.7, MD = 175 kN·m, ME = 143.3, MF = 111.7, MG = 0
答え
点 D: MD = 175 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 42 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·1 + 3·4·2
RB = 74/4 = 18.5 kN
ΣFy = 0: RA = 62 − 18.5 = 43.5 kN
x = 1 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 43.5·1 − 3·1·0.5 = 42 kN·m
答え
Mx = 42 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 64.96 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 220·20 = 4400 mm², yf = 280 + 20/2 = 290 mm
ウェブ: Aw = 12·280 = 3360 mm², yw = 280/2 = 140 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4400·290 + 3360·140)/7760 = 225.1 mm
平行軸の定理
フランジ: 220·20³/12 + 4400·(290 − 225.1)² = 1.871 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 12·280³/12 + 3360·(140 − 225.1)² = 4.626 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.871 × 10⁷ + 4.626 × 10⁷ = 6.496 × 10⁷ mm⁴ = 64.96 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 64.96 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 79.33 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (24000·100 − 1200·80)/(24000 − 1200) = 101.1 mm
ȳ まわりの全体の板
120·200³/12 + 24000·−1.053² = 80.03 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
30·40³/12 + 1200·−21.05² = 0.6919 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 79.33 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 79.33 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 22.36 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((−50 − −10)/2)² + −10²) = 22.36 MPa
答え
τmax = 22.36 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 3.261
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 50 MPa, R = 76.16 MPa
σ1 = 126.2 MPa, σ2 = −26.16 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(126.2² − 126.2·(−26.16) + (−26.16)²) = 141.1 MPa
n = 460/141.1 = 3.261
答え
n = 3.261
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
11.はりのたわみ
答え: δ = 33.33 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 10000 N, w = 5 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(3EI) = 10000·4000³/(3·1.12 × 10¹³) = 19.05 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·4000⁴/(8·1.12 × 10¹³) = 14.29 mm
足し合わせる
δ = 19.05 + 14.29 = 33.33 mm
答え
δ = 33.33 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 3.161 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 23000 N, w = 4 N/mm, L = 1500 mm, EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 23000·1500³/(48·5.95 × 10¹¹) = 2.718 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·1500⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 0.4431 mm
足し合わせる
δmax = 2.718 + 0.4431 = 3.161 mm
答え
δmax = 3.161 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 17.13 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·3000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/3000² = 17135 N = 17.13 kN
答え
Pcr = 17.13 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 17.27 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/5 = 200
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa
答え
σcr = 17.27 MPa
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