軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 75 kNd = 12 mmL = 3 mE = 117 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa、許容応力 200 MPa）が、青銅 でできた管（外径 80 mm、内径 60 mm、E = 110 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
長さ 0.5 m の鋼製の中実軸がトルク 200 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 1° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 200 N·mL = 0.5 mG = 80 GPaφallow = 1°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 300 rpm で 10 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.75 倍とし、せん断応力は 40 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 10 kWN = 300 rpmdi/do = 0.75τallow = 40 MPa
do = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 8 mP1 = 35 kN 位置 2 mP2 = 55 kN 位置 6 m
Mmax = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mP = 30 kN 位置 5 mw = 5 kN/m（0 から 8 m まで）x = 5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 200 mmtf = 25 mmtw = 8 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
対称な I 形断面のフランジは幅 210 mm、厚さ 22 mm、全高は 360 mm、ウェブの厚さは 10 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 150 kN·m を受ける。 ウェブと上フランジの接合部における曲げ応力の大きさ σj を求めよ。
B = 210 mmH = 360 mmtf = 22 mmtw = 10 mmM = 150 kN·m
σj = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 30 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 30 MPaσy = 30 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 600 mm、肉厚 5 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 3 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 20° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 600 mmt = 5 mmp = 3 MPaα = 20°
σn = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 5.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 8 kNa = 5.5 mL = 8 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。スパン中央に集中荷重 P が作用する。EI は一定である。 固定端における曲げモーメントの大きさ MA を求めよ。
L = 3 mP = 40 kN 位置 1.5 m
MA = kN·m
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 20 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 5668 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 75·1000/113.1 = 663.1 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 663.1/117000 = 0.005668 = 5668 µε
答え
ε = 5668 µε
2.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 209.1 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·2199 = 3.833 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.001, 0.0005455) = 0.0005455 (青銅)
最大荷重
Pmax = 0.0005455·3.833 × 10⁸ = 209059 N = 209.1 kN
答え
Pmax = 209.1 kN
3.軸のねじり
答え: d = 29.23 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 1·π/180 = 0.01745 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·500/(80000·0.01745) = 71620 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 29.23 mm
答え
d = 29.23 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: do = 38.99 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 10000/31.42 = 318.3 N·m
許容応力からの外径
T = 318.3 N·m = 318310 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·40·0.6836)) = 38.99 mm
di = 0.75·38.99 = 29.24 mm
答え
do = 38.99 mm
中実軸なら d = 34.35 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 100 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·8 = 35·2 + 55·6
RB = 400/8 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 50 = 40 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·2 = 40·2 = 80 kN·m
荷重点 P2: M = RB·2 = 50·2 = 100 kN·m
最大値
Mmax = 100 kN·m (荷重点 P2)
答え
Mmax = 100 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 93.75 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 30·5 + 5·8·4
RB = 310/8 = 38.75 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 38.75 = 31.25 kN
x = 5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 31.25·5 − 5·5·2.5 = 93.75 kN·m
答え
Mx = 93.75 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 3.621 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 200·25 = 5000 mm², yf = 100 + 25/2 = 112.5 mm
ウェブ: Aw = 8·100 = 800 mm², yw = 100/2 = 50 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5000·112.5 + 800·50)/5800 = 103.9 mm
平行軸の定理
フランジ: 200·25³/12 + 5000·(112.5 − 103.9)² = 631998 mm⁴
ウェブ: 8·100³/12 + 800·(50 − 103.9)² = 2.989 × 10⁶ mm⁴
Ix = 631998 + 2.989 × 10⁶ = 3.621 × 10⁶ mm⁴ = 3.621 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 3.621 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σj = 81.56 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 360 − 2·22 = 316 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (210·360³ − 200·316³)/12
Ix = 2.906 × 10⁸ mm⁴
曲げ応力
y = 180 − 22 = 158 mm
σ = M·y/I = 1.5 × 10⁸·158/2.906 × 10⁸ = 81.56 MPa
答え
σj = 81.56 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 10 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((30 − 30)/2)² + −10²) = 10 MPa
答え
τmax = 10 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 169.5 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 3·300/5 = 180 MPa
σa = pr/(2t) = 90 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 90·sin²20° + 180·cos²20° = 169.5 MPa
答え
σn = 169.5 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 15.79 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 8000 N, a = 5500 mm, b = 2500 mm, L = 8000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 8000·5500²·2500²/(3·3.99 × 10¹²·8000) = 15.79 mm
答え
δP = 15.79 mm
12.はりのたわみ
答え: MA = 22.5 kN·m
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·40/16 = 12.5 kN
固定端のモーメント
荷重と支点 B の反力による A まわりのモーメント。
MA = P·L/2 − RB·L = 60 − 37.5 = 22.5 kN·m
答え
MA = 22.5 kN·m
13.柱の座屈
答え: Pcr = 3.876 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2000² = 3876 N = 3.876 kN
答え
Pcr = 3.876 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 126.3 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/20 = 125
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126.3 MPa
答え
σcr = 126.3 MPa
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