軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 85 kNd = 10 mmL = 1.5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 30 mm、長さ 200 mm、E = 70 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 60 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 200 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 3000 rpm で 50 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.6 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 50 kWN = 3000 rpmdi/do = 0.6τallow = 80 MPa
do = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 10 mP1 = 40 kN 位置 3 mP2 = 25 kN 位置 9 m
Mmax = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mP = 55 kN 位置 2.5 mw = 4 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
対称な I 形断面のフランジは幅 250 mm、厚さ 22 mm、全高は 500 mm、ウェブの厚さは 12 mm である。 水平な図心軸 x まわりの曲げに対する弾性断面係数 Sx を求めよ。
B = 250 mmH = 500 mmtf = 22 mmtw = 12 mm
Sx = × 10³ mm³
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 50 kN·m を受ける。 下端の曲げ応力 σ下端 を求めよ。
bf = 220 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 180 mmM = 50 kN·m
σ下端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 30 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 30 MPaσy = 100 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 0 MPa、σᵧ = 100 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 50° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 0 MPaσy = 100 MPaτxy = 60 MPaθ = 50°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。
w = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。
L = 4 mw = 5 kN/m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 15461 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 85·1000/78.54 = 1082 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 1082/70000 = 0.01546 = 15461 µε
答え
ε = 15461 µε
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 23.98 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 70000·706.9/200 = 247400 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 60000·247400/875719 = 16951 N
応力
σ2 = 16951/706.9 = 23.98 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 23.98 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 2.988 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(80000·38350) = 0.05215 rad
φ = 0.05215·180/π = 2.988°
答え
φ = 2.988°
4.軸のねじり
答え: do = 22.66 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m
許容応力からの外径
T = 159.2 N·m = 159155 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·159155/(π·80·0.8704)) = 22.66 mm
di = 0.6·22.66 = 13.6 mm
答え
do = 22.66 mm
中実軸なら d = 21.64 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 91.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·10 = 40·3 + 25·9
RB = 345/10 = 34.5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 34.5 = 30.5 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·3 = 30.5·3 = 91.5 kN·m
荷重点 P2: M = RB·1 = 34.5·1 = 34.5 kN·m
最大値
Mmax = 91.5 kN·m (荷重点 P1)
答え
Mmax = 91.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 59.06 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·2.5 + 4·4·2
RB = 169.5/4 = 42.38 kN
ΣFy = 0: RA = 71 − 42.38 = 28.63 kN
x = 2.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 28.63·2.5 − 4·2.5·1.25 = 59.06 kN·m
答え
Mx = 59.06 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Sx = 2894 × 10³ mm³
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 500 − 2·22 = 456 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (250·500³ − 238·456³)/12
Ix = 7.236 × 10⁸ mm⁴
断面係数
c = H/2 = 250 mm
Sx = I/c = 7.236 × 10⁸/250
Sx = 2.894 × 10⁶ mm³ = 2894 × 10³ mm³
答え
Sx = 2894 × 10³ mm³
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ下端 = 355.2 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 220·15 = 3300 mm², yf = 180 + 15/2 = 187.5 mm
ウェブ: Aw = 14·180 = 2520 mm², yw = 180/2 = 90 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3300·187.5 + 2520·90)/5820 = 145.3 mm
平行軸の定理
フランジ: 220·15³/12 + 3300·(187.5 − 145.3)² = 5.943 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 14·180³/12 + 2520·(90 − 145.3)² = 1.451 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.943 × 10⁶ + 1.451 × 10⁷ = 2.045 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
下端は軸から ȳ の位置にあります。
y = 145.3 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·145.3/2.045 × 10⁷ = 355.2 MPa
答え
σ下端 = 355.2 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = −82.03 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·−10, 30 − 100) = −164.1°
要素上の角度
θp = −82.03°
答え
θp = −82.03°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 117.8 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 50 + −50·−0.1736 + 60·0.9848 = 117.8 MPa
答え
σθ = 117.8 MPa
11.はりのたわみ
答え: δ = 69.75 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
たわみ
δ = wL⁴/(8EI) = 10·5000⁴/(8·1.12 × 10¹³) = 69.75 mm
答え
δ = 69.75 mm
12.はりのたわみ
答え: RB = 7.5 kN
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = wL⁴/(8EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·4/8 = 7.5 kN
答え
RB = 7.5 kN
13.柱の座屈
答え: Pcr = 139.5 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1500 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139.5 kN
答え
Pcr = 139.5 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 197.4 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/20 = 100
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa
答え
σcr = 197.4 MPa
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