材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう

軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 40 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.軸応力とひずみむずかしい

鋼の区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、青銅でできた区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 50 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ₂ を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.軸のねじりふつう

アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 500 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 26 GPa

φ = °

4.軸のねじりむずかしい

中空軸が 3000 rpm で 50 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τ_max を求めよ。

P = 50 kWN = 3000 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mw = 4 kN/m（0 から 5 m まで）x = 2.5 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。支点間の最大の正の曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 9 mw = 2 kN/m（0 から 9 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 8 m

M_max = kN·m

7.図心と断面二次モーメントふつう

対称な I 形断面のフランジは幅 190 mm、厚さ 14 mm、全高は 300 mm、ウェブの厚さは 14 mm である。水平な図心軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

B = 190 mmH = 300 mmt_f = 14 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメントむずかしい

鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 60 MPa、圧縮で 90 MPa である。はりが負担できる最大の負の曲げモーメント M_allow を求めよ（大きさで答えよ）。

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 50 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = −60 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θ_p を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σ_x = 50 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 40 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。法線が x 軸から反時計回りに 60° 回転した面上の垂直応力 σ_θ を求めよ。

σ_x = 40 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.はりのたわみふつう

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.はりのたわみむずかしい

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。スパン中央に集中荷重 P が作用する。EI は一定である。支点 B の反力 R_B を求めよ。

L = 8 mP = 50 kN 位置 4 m

R_B = kN

13.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm

P_cr = kN

14.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.4074 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 40·1000/490.9 = 81.49 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 81.49/100000 = 0.0008149 = 814.9 µε

伸び

δ = ε·L = 0.0008149·500 mm = 0.4074 mm

答え

δ = 0.4074 mm

2.軸応力とひずみ

答え: σ₂ = 14.03 MPa

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

剛性

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 110000·706.9/500 = 155509 N/mm

区間 2 の分担

F₂ = 50000·155509/783827 = 9920 N

応力

σ₂ = 9920/706.9 = 14.03 MPa （圧縮）

答え

σ₂ = 14.03 MPa

3.軸のねじり

答え: φ = 16.63 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(26000·79522) = 0.2902 rad

φ = 0.2902·180/π = 16.63°

答え

φ = 16.63°

4.軸のねじり

答え: τ_max = 8.533 MPa

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m

断面二次極モーメント

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

最大せん断応力

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·25/466269 = 8.533 MPa

答え

τ_max = 8.533 MPa

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 12.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN、作用点 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·5·2.5

R_B = 50/5 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

x = 2.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 10·2.5 − 4·2.5·1.25 = 12.5 kN·m

答え

M_x = 12.5 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 15.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·9 = 18 kN、作用点 x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·9·4.5

R_B = 81/8 = 10.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 10.13 = 7.875 kN

せん断力 0 の位置

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 7.875/2 = 3.938 m

最大の正の曲げモーメント

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 7.875²/(2·2) = 15.5 kN·m

答え

M_max = 15.5 kN·m

7.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 132.4 × 10⁶ mm⁴

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = I_c + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − t_w)、高さ h_w = H − 2t_f で、軸 x を共有します。

h_w = 300 − 2·14 = 272 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·300³ − 176·272³)/12

I_x = 1.324 × 10⁸ mm⁴ = 132.4 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 132.4 × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメント

答え: M_allow = 17.07 kN·m

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

図心

ȳ = (1000·285 + 2800·140)/3800 = 178.2 mm

上縁: c = 290 − 178.2 = 111.8 mm

断面二次モーメント

I = 100·10³/12 + 1000·106.8² + 10·280³/12 + 2800·38.16² = 3.379 × 10⁷ mm⁴

各縁で許容されるモーメント

負の曲げ：上側は引張、下側は圧縮です。

上縁: M = 60·3.379 × 10⁷/111.8 = 18.13 kN·m

下縁: M = 90·3.379 × 10⁷/178.2 = 17.07 kN·m

決定値

M_allow = min = 17.07 kN·m (下縁)

答え

M_allow = 17.07 kN·m

9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θ_p = −47.38 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θ_p = atan2(2·−60, 50 − 60) = −94.76°

要素上の角度

θ_p = −47.38°

答え

θ_p = −47.38°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ_θ = 144.5 MPa

変換式

σ_θ = 75 + −35·−0.5 + 60·0.866 = 144.5 MPa

答え

σ_θ = 144.5 MPa

11.はりのたわみ

答え: δ = 79.05 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·2.53 × 10¹¹) = 79.05 mm

答え

δ = 79.05 mm

12.はりのたわみ

答え: R_B = 15.63 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支点 B での適合条件

支点反力 R_B だけで自由端は R_BL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·50/16 = 15.63 kN

答え

R_B = 15.63 kN

13.柱の座屈

答え: P_cr = 27.47 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·4000 = 4000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/4000² = 27470 N = 27.47 kN

答え

P_cr = 27.47 kN

14.柱の座屈

答え: σ_cr = 44.76 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/10 = 210

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44.76 MPa

答え

σ_cr = 44.76 MPa

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