軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、黄銅 でできた管（外径 100 mm、内径 70 mm、E = 100 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 800 mm で、剛な板の間で 200 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 200 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 45 kN区間 1：Ø40 mm、0.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø12 mm、2 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 250 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.6 倍とし、せん断応力は 60 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 250 N·mdi/do = 0.6τallow = 60 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
直径 30 mm のアルミニウム製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 1.5 m、B から 0.8 m の C にトルク 250 N·m が作用する。 断面 C の回転角 φC を度で求めよ。
d = 30 mmT0 = 250 N·ma = 1.5 mb = 0.8 mG = 26 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 支点 B のすぐ左側でのせん断力 Vx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5.5 mP1 = 40 kN 位置 1.5 mP2 = 35 kN 位置 5.5 m支点の位置 x = 0 と x = 4 m
Vx = kN
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点 B における曲げモーメント MB を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mw = 10 kN/m（0 から 8 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 6 m
MB = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
150 mm × 150 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 60 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 150 mmh = 150 mmd = 60 mm穴の中心: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
溶接 I 形断面は、上フランジ 100 × 22 mm、高さ 360 mm・厚さ 14 mm のウェブ、下フランジ 200 × 10 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
上フランジ: 100 × 22 mmウェブ: 14 × 360 mm下フランジ: 200 × 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 10 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 10 MPaσy = 120 MPaτxy = −50 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 1200 mm、肉厚 5 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 1 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 55° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 1200 mmt = 5 mmp = 1 MPaα = 55°
σn = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.3453 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·4006 = 4.634 × 10⁸ N
縮み
δ = 200000·800/4.634 × 10⁸ = 0.3453 mm
答え
δ = 0.3453 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 397.9 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 35.81 MPa
σ2 = 397.9 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 397.9 MPa
答え
σmax = 397.9 MPa
3.軸のねじり
答え: do = 29 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·60·0.8704)) = 29 mm
di = 0.6·29 = 17.4 mm
答え
do = 29 mm
中実軸なら d = 27.69 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: φC = 3.615 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。
つり合いと適合条件
TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·0.8/2.3 = 86.96 N·m
TB = 250·1.5/2.3 = 163 N·m
C の回転角
区間 AC を使います：A で固定され、TA を受けます。
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 86957·1500/(26000·79522) = 0.06309 rad = 3.615°
答え
φC = 3.615°
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Vx = −28.13 kN
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。
ΣMA = 0: RB·4 = 40·1.5 + 35·5.5
RB = 252.5/4 = 63.13 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 63.13 = 11.88 kN
B のすぐ左で切断し、左側を残す
Vx = RA − P1 = 11.88 − 40 = −28.13 kN
答え
Vx = −28.13 kN
6.せん断力と曲げモーメント
答え: MB = −20 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·8·4
RB = 320/6 = 53.33 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 53.33 = 26.67 kN
B で切断し、張出し部を残す
張出し部の荷重 w·a は B から a/2 の位置に作用し、はりを支点上で上に凸に曲げます（負の曲げ）。
MB = −w·a²/2 = −10·2²/2 = −20 kN·m
答え
MB = −20 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 40.82 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (22500·75 − 2827·60)/(22500 − 2827) = 77.16 mm
ȳ まわりの全体の板
150·150³/12 + 22500·−2.156² = 42.29 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·60⁴/64 + 2827·−17.16² = 1.468 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 40.82 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 40.82 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 203 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
3 つの長方形に分割
y はすべて下端から測ります。
上フランジ: A = 2200 mm², y = 381 mm
ウェブ: A = 5040 mm², y = 190 mm
下フランジ: A = 2000 mm², y = 5 mm
図心
ȳ = (2200·381 + 5040·190 + 2000·5)/9240 = 195.4 mm
平行軸の定理
上フランジ: 100·22³/12 + 2200·185.6² = 7.585 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 14·360³/12 + 5040·5.433² = 5.458 × 10⁷ mm⁴
下フランジ: 200·10³/12 + 2000·190.4² = 7.255 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.585 × 10⁷ + 5.458 × 10⁷ + 7.255 × 10⁷
Ix = 2.03 × 10⁸ mm⁴ = 203 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 203 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 74.33 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((10 − 120)/2)² + −50²) = 74.33 MPa
答え
τmax = 74.33 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 79.74 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 1·600/5 = 120 MPa
σa = pr/(2t) = 60 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 60·sin²55° + 120·cos²55° = 79.74 MPa
答え
σn = 79.74 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 2.62 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 2.62 mm
答え
δmax = 2.62 mm
12.はりのたわみ
答え: Ireq = 213.1 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·5000⁴/(384·11000·13.89) = 2.131 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 213.1 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 213.1 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈
答え: Pcr = 49.35 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1500 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/3000² = 49348 N = 49.35 kN
答え
Pcr = 49.35 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 49.35 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/10 = 200
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa
答え
σcr = 49.35 MPa
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