軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 500 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.4 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 160 MPa）が、青銅 でできた管（外径 120 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa、許容応力 70 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
ねじり試験で、直径 10 mm の中実試験片をトルク 20 N·m でねじる。標点距離 300 mm の両端は互いに 4.38° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。
T = 20 N·md = 10 mmL = 300 mmφ = 4.38°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1450 rpm で 15 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 75 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 15 kWN = 1450 rpmdi/do = 0.7τallow = 75 MPa
do = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
25 kN @ 2 m6 kN/m, 0–6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 1.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 6 mP = 35 kN 位置 3 mw = 3 kN/m（0 から 6 m まで）x = 1.5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
対称な I 形断面のフランジは幅 160 mm、厚さ 22 mm、全高は 280 mm、ウェブの厚さは 6 mm である。 水平な図心軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
B = 160 mmH = 280 mmtf = 22 mmtw = 6 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
溶接 I 形断面は、上フランジ 160 × 20 mm、高さ 390 mm・厚さ 12 mm のウェブ、下フランジ 250 × 20 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
上フランジ: 160 × 20 mmウェブ: 12 × 390 mm下フランジ: 250 × 20 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 0 MPa、σᵧ = 10 MPa である。最大主応力が 70 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 0 MPaσy = 10 MPaσ1 = 70 MPa
τxy = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 800 mm、肉厚 12 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 0.8 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 35° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 800 mmt = 12 mmp = 0.8 MPaα = 35°
σn = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。
w = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 2 kNw = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 52.36 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490.9) = 5.093 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1963) = 2.546 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.4/7.639 × 10⁻⁶ = 52360 N = 52.36 kN
答え
P = 52.36 kN
2.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 814.2 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·9346 = 1.279 × 10⁹ N
支配するひずみ
ε = min(0.0008, 0.0006364) = 0.0006364 (青銅)
最大荷重
Pmax = 0.0006364·1.279 × 10⁹ = 814172 N = 814.2 kN
答え
Pmax = 814.2 kN
3.軸のねじり
答え: G = 79.95 GPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメントと角度
J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 4.38·π/180 = 0.07645 rad
横弾性係数
T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·300/(981.7·0.07645) = 79947 MPa
G = 79.95 GPa
答え
G = 79.95 GPa
比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。
4.軸のねじり
答え: do = 20.67 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 15000/151.8 = 98.79 N·m
許容応力からの外径
T = 98.79 N·m = 98786 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·98786/(π·75·0.7599)) = 20.67 mm
di = 0.7·20.67 = 14.47 mm
答え
do = 20.67 mm
中実軸なら d = 18.86 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: C (x = 2 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 34.67 kN, R2 = 26.33 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 31.67, MC = 57.33 kN·m, MD = 52, ME = 40.67, MF = 23.33, MG = 0
答え
点 C: MC = 57.33 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 36.38 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 35·3 + 3·6·3
RB = 159/6 = 26.5 kN
ΣFy = 0: RA = 53 − 26.5 = 26.5 kN
x = 1.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 26.5·1.5 − 3·1.5·0.75 = 36.38 kN·m
答え
Mx = 36.38 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 124 × 10⁶ mm⁴
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 280 − 2·22 = 236 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (160·280³ − 154·236³)/12
Ix = 1.24 × 10⁸ mm⁴ = 124 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 124 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 393.6 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
3 つの長方形に分割
y はすべて下端から測ります。
上フランジ: A = 3200 mm², y = 420 mm
ウェブ: A = 4680 mm², y = 215 mm
下フランジ: A = 5000 mm², y = 10 mm
図心
ȳ = (3200·420 + 4680·215 + 5000·10)/12880 = 186.4 mm
平行軸の定理
上フランジ: 160·20³/12 + 3200·233.6² = 1.748 × 10⁸ mm⁴
ウェブ: 12·390³/12 + 4680·28.65² = 6.316 × 10⁷ mm⁴
下フランジ: 250·20³/12 + 5000·176.4² = 1.557 × 10⁸ mm⁴
Ix = 1.748 × 10⁸ + 6.316 × 10⁷ + 1.557 × 10⁸
Ix = 3.936 × 10⁸ mm⁴ = 393.6 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 393.6 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 64.81 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (0 + 10)/2 = 5 MPa
R = σ1 − C = 70 − 5 = 65 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 5²) = 64.81 MPa
答え
τxy = 64.81 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 22.28 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 0.8·400/12 = 26.67 MPa
σa = pr/(2t) = 13.33 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 13.33·sin²35° + 26.67·cos²35° = 22.28 MPa
答え
σn = 22.28 MPa
11.はりのたわみ
答え: θA = 0.01333 rad
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 12 N/mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
端部のたわみ角
θA = wL³/(24EI) = 12·4000³/(24·2.4 × 10¹²) = 0.01333 rad
答え
θA = 0.01333 rad
これは 0.7639° です。
12.はりのたわみ
答え: δmax = 9.978 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 2000 N, w = 5 N/mm, L = 5000 mm, EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 2000·5000³/(48·4.6 × 10¹²) = 1.132 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 8.846 mm
足し合わせる
δmax = 1.132 + 8.846 = 9.978 mm
答え
δmax = 9.978 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 158.8 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1250² = 158752 N = 158.8 kN
答え
Pcr = 158.8 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 87.73 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/20 = 150
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87.73 MPa
答え
σcr = 87.73 MPa
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