材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
P = ?12500 mm500 mmØ40Ø30δ = 0.2 mm

棒が、鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 30 mm、長さ 500 mm、E = 120 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.2 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø25110 GPaØ100/50300 mm

鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa、許容応力 160 MPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
d = ?T = 750 N·mL = 1.5 m

長さ 1.5 m の鋼製の中実軸がトルク 750 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 0.5° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。

T = 750 N·mL = 1.5 mG = 80 GPaφallow = 0.5°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
d = ?5 kW, 750 rpm

鋼製の中実軸が 750 rpm で 5 kW を伝達する。せん断応力は 40 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 1° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。

P = 5 kWN = 750 rpmτallow = 40 MPaθallow = 1°/mG = 80 GPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
10 kN25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

10 kN @ 5 m25 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 6 kN/mABC6 m2.5 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 8.5 mw = 6 kN/m（0 から 8.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 6 m
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
120 mm300 mm90 mmØ30xIx​ = ?

120 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 30 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 90 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 120 mmh = 300 mmd = 30 mm穴の中心: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
260202208xM = 50 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 50 kN·m を受ける。 下端の曲げ応力 σ下端 を求めよ。

bf = 260 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 220 mmM = 50 kN·m
σ下端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 40σy​ = −30τxy​ = −50MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 40 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −50 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。

σx = 40 MPaσy = −30 MPaτxy = −50 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​τxy​軸の表面

直径 20 mm の中実軸が軸圧縮力 80 kNとトルク 400 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。

d = 20 mmF = −80 kNT = 400 N·m
σ1 = MPa
11.はりのたわみふつう
P = 27 kNABδ2 m2 m

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。

P = 27 kNa = 2 mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 2 kN/mABδ4.5 m

幅 150 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 2 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 150 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 1.5 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 125 kNL = 1.5 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 125 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 125 kNn = 2L = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: P = 25.37 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706.9 mm²

柔軟性

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·706.9) = 5.895 × 10⁻⁶ mm/N

荷重

P = 0.2/7.884 × 10⁻⁶ = 25368 N = 25.37 kN

答え

P = 25.37 kN
2.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 407 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·5890 = 7.461 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.0008, 0.0005455) = 0.0005455 (青銅)

最大荷重

Pmax = 0.0005455·7.461 × 10⁸ = 406979 N = 407 kN

答え

Pmax = 407 kN
3.軸のねじり

答え: d = 63.65 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

必要な断面二次極モーメント

T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad
J = TL/(Gφ) = 750000·1500/(80000·0.008727) = 1.611 × 10⁶ mm⁴

直径

d = (32J/π)1/4 = 63.65 mm

答え

d = 63.65 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

4.軸のねじり

答え: d = 26.11 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 5000/78.54 = 63.66 N·m

強度から決まる直径

T = 63.66 N·m = 63662 N·mm
dτ = ∛(16·63662/(π·40)) = 20.09 mm

剛性から決まる直径

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·63662/(π·80000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 26.11 mm

決定する直径

両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。

d = max(20.09, 26.11) = 26.11 mm

答え

d = 26.11 mm

ここでは剛性で決まります。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: B (x = 1 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 22.5 kN, R2 = 12.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 22.5 kN·m, MC = 20, MD = 17.5, ME = 15, MF = 12.5, MG = 0

答え

点 B: MB = 22.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 18.44 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·8.5 = 51 kN、作用点 x̄ = 4.25 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·8.5·4.25
RB = 216.8/6 = 36.13 kN
ΣFy = 0: RA = 51 − 36.13 = 14.88 kN

せん断力 0 の位置

RA − w·x0 = 0 → x0 = 14.88/6 = 2.479 m

最大の正の曲げモーメント

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 14.88²/(2·6) = 18.44 kN·m

答え

Mmax = 18.44 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 267.4 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (36000·150 − 706.9·90)/(36000 − 706.9) = 151.2 mm

ȳ まわりの全体の板

120·300³/12 + 36000·−1.202² = 270.1 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·30⁴/64 + 706.9·−61.2² = 2.687 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 267.4 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 267.4 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: σ下端 = 380.9 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 260·20 = 5200 mm², yf = 220 + 20/2 = 230 mm
ウェブ: Aw = 8·220 = 1760 mm², yw = 220/2 = 110 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5200·230 + 1760·110)/6960 = 199.7 mm

平行軸の定理

フランジ: 260·20³/12 + 5200·(230 − 199.7)² = 4.962 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 8·220³/12 + 1760·(110 − 199.7)² = 2.125 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4.962 × 10⁶ + 2.125 × 10⁷ = 2.621 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 199.7 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·199.7/2.621 × 10⁷ = 380.9 MPa

答え

σ下端 = 380.9 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τabs = 61.03 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。

στxyCσ1​σ2​

面内の主応力

C = 5 MPa, R = √(35² + (−50)²) = 61.03 MPa
σ1 = 66.03 MPa, σ2 = −56.03 MPa, σz = 0

3 つの円のうち最大のもの

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(122.1, 66.03, 56.03)/2 = 61.03 MPa

答え

τabs = 61.03 MPa

ここでは σ₁ と σ₂ の符号が逆なので、面内最大値 R が絶対最大値でもあります。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ1 = 157.4 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

表面の応力

σ = F/A = −80000/(π·20²/4) = −80000/314.2 = −254.6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·20³) = 254.6 MPa
στxyCσ1​σ2​

モールの応力円

C = σ/2 = −127.3 MPa
R = √((−127.3)² + 254.6²) = 284.7 MPa
σ1 = C + R = 157.4 MPa
σ2 = C − R = −412 MPa

答え

σ1 = 157.4 MPa
11.はりのたわみ

答え: δB = 10.71 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 27000 N, a = 2000 mm, L = 4000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

自由端のたわみ

荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。

δP = Pa³/(3EI) = 4.286 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.003214 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 10.71 mm

答え

δB = 10.71 mm
12.はりのたわみ

答え: hreq = 173 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·15) = 6.472 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·6.472 × 10⁷/150)1/3 = 173 mm

答え

hreq = 173 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

13.柱の座屈

答え: Pcr = 8.721 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·1500 = 3000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8.721 kN

答え

Pcr = 8.721 kN
14.柱の座屈

答え: d = 63.82 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·125000 = 250000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 63.82 mm

答え

d = 63.82 mm

確認：細長比 KL/r は 94.02 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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