軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受けるアルミニウム製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 15 kNd = 10 mmL = 0.5 mE = 70 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 80 kN区間 1：Ø35 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø16 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 100 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1000 rpm で 20 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 20 kWN = 1000 rpmdo = 50 mmdi = 25 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 5 mP1 = 75 kN 位置 2.5 mP2 = 60 kN 位置 3.5 m
Mmax = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 5 mP = 60 kN 位置 4 mw = 12 kN/m（0 から 5 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
対称な I 形断面のフランジは幅 120 mm、厚さ 16 mm、全高は 400 mm、ウェブの厚さは 12 mm である。 水平な図心軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
B = 120 mmH = 400 mmtf = 16 mmtw = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm × 150 mm の板に、幅 40 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 97.5 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 150 mm切り欠き: 40 × 40 mm穴の中心: y = 97.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −10 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = −40 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = −10 MPaσy = −80 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 110 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 50 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。
σx = 110 MPaσy = 110 MPaτxy = 50 MPa
σvM = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。
w = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。
P = 19 kNw = 8 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 120 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 120 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 1.364 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 15·1000/78.54 = 191 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 191/70000 = 0.002728 = 2728 µε
伸び
δ = ε·L = 0.002728·500 mm = 1.364 mm
答え
δ = 1.364 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 397.9 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 83.15 MPa
σ2 = 397.9 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 397.9 MPa
答え
σmax = 397.9 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 2.217 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(39000·79522) = 0.03869 rad
φ = 0.03869·180/π = 2.217°
答え
φ = 2.217°
4.軸のねじり
答え: τmax = 8.3 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m
断面二次極モーメント
J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 190986·25/575243 = 8.3 MPa
答え
τmax = 8.3 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 138.8 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
ΣMA = 0: RB·5 = 75·2.5 + 60·3.5
RB = 397.5/5 = 79.5 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 79.5 = 55.5 kN
各荷重位置のモーメント
各荷重より左側の部分を残します。
荷重点 P1: M = RA·2.5 = 55.5·2.5 = 138.8 kN·m
荷重点 P2: M = RB·1.5 = 79.5·1.5 = 119.3 kN·m
最大値
Mmax = 138.8 kN·m (荷重点 P1)
答え
Mmax = 138.8 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 73.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 60·4 + 12·5·2.5
RB = 390/5 = 78 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 78 = 42 kN
V = 0 となるのはどこですか？
RA − w·x0 = 0 → x0 = 42/12 = 3.5 m
最大モーメント
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 42·3.5 − 12·3.5²/2 = 73.5 kN·m
答え
Mmax = 73.5 kN·m
それは A から x = 3.5 m の位置に生じます。
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 191.5 × 10⁶ mm⁴
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 400 − 2·16 = 368 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (120·400³ − 108·368³)/12
Ix = 1.915 × 10⁸ mm⁴ = 191.5 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 191.5 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 32.65 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (18000·75 − 1600·97.5)/(18000 − 1600) = 72.8 mm
ȳ まわりの全体の板
120·150³/12 + 18000·2.195² = 33.84 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
40·40³/12 + 1600·24.7² = 1.189 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 32.65 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 32.65 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 53.15 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((−10 − −80)/2)² + −40²) = 53.15 MPa
答え
τmax = 53.15 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σvM = 140 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 110 MPa, R = 50 MPa
σ1 = 160 MPa, σ2 = 60 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(160² − 160·60 + 60²) = 140 MPa
答え
σvM = 140 MPa
11.はりのたわみ
答え: θA = 0.004638 rad
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 8 N/mm, L = 4000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
端部のたわみ角
θA = wL³/(24EI) = 8·4000³/(24·4.6 × 10¹²) = 0.004638 rad
答え
θA = 0.004638 rad
これは 0.2657° です。
12.はりのたわみ
答え: δmax = 16.35 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 19000 N, w = 8 N/mm, L = 2500 mm, EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(48EI) = 19000·2500³/(48·6.27 × 10¹¹) = 9.864 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 6.49 mm
足し合わせる
δmax = 9.864 + 6.49 = 16.35 mm
答え
δmax = 16.35 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 9.212 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/2000² = 9212 N = 9.212 kN
答え
Pcr = 9.212 kN
14.柱の座屈
答え: d = 62.09 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·120000 = 360000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 62.09 mm
答え
d = 62.09 mm
確認：細長比 KL/r は 128.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials