軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 60 mm、長さ 500 mm、E = 100 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.2 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 85 kN区間 1：Ø25 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø16 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·md = 40 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 500 rpm で 75 kW を伝達し、せん断応力が 75 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 75 kWN = 500 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 2.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP = 60 kN 位置 2.5 mw = 2 kN/m（0 から 5 m まで）x = 2 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mP = 40 kN 位置 3 mw = 4 kN/m（0 から 4 m まで）x = 3 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 220 mmtf = 15 mmtw = 16 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
対称な I 形断面のフランジは幅 140 mm、厚さ 20 mm、全高は 300 mm、ウェブの厚さは 12 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 200 kN·m を受ける。 断面内の最大曲げ応力の大きさ σmax を求めよ。
B = 140 mmH = 300 mmtf = 20 mmtw = 12 mmM = 200 kN·m
σmax = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 30 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 30 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 110 MPa、σᵧ = −50 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 45° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 110 MPaσy = −50 MPaτxy = 60 MPaθ = 45°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。
P = 13 kNw = 5 kN/mL = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。
L = 6 mw = 12 kN/m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 34.23 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 490.9 mm², A₂ = 2827 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1.768 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.2/5.843 × 10⁻⁶ = 34230 N = 34.23 kN
答え
P = 34.23 kN
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 5.074 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 173.2 MPa
σ2 = 422.8 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 173.2·2000/117000 = 2.96 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 422.8·1000/200000 = 2.114 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.074 mm
答え
δ = 5.074 mm
3.軸のねじり
答え: φ = 1.71 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(80000·251327) = 0.02984 rad
φ = 0.02984·180/π = 1.71°
答え
φ = 1.71°
4.軸のねじり
答え: d = 45.99 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 75000/52.36 = 1432 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1.432 × 10⁶/(π·75)) = 45.99 mm
答え
d = 45.99 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = −39 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
自由端側を残す
P: −60·0.5 = −30 kN·m
w: −2·3²/2 = −9 kN·m
Mx = −30 − 9 = −39 kN·m
答え
Mx = −39 kN·m
負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 36 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·3 + 4·4·2
RB = 152/4 = 38 kN
ΣFy = 0: RA = 56 − 38 = 18 kN
x = 3 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 18·3 − 4·3·1.5 = 36 kN·m
答え
Mx = 36 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 7.896 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 220·15 = 3300 mm², yf = 120 + 15/2 = 127.5 mm
ウェブ: Aw = 16·120 = 1920 mm², yw = 120/2 = 60 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3300·127.5 + 1920·60)/5220 = 102.7 mm
平行軸の定理
フランジ: 220·15³/12 + 3300·(127.5 − 102.7)² = 2.096 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 16·120³/12 + 1920·(60 − 102.7)² = 5.8 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.096 × 10⁶ + 5.8 × 10⁶ = 7.896 × 10⁶ mm⁴ = 7.896 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 7.896 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σmax = 235.3 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 300 − 2·20 = 260 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (140·300³ − 128·260³)/12
Ix = 1.275 × 10⁸ mm⁴
曲げ応力
y = 150 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁸·150/1.275 × 10⁸ = 235.3 MPa
答え
σmax = 235.3 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 28.15 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·30, 30 − −10) = 56.31°
要素上の角度
θp = 28.15°
答え
θp = 28.15°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 90 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 30 + 80·0 + 60·1 = 90 MPa
答え
σθ = 90 MPa
11.はりのたわみ
答え: δ = 1.56 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 13000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(3EI) = 13000·1500³/(3·1.14 × 10¹³) = 1.283 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·1500⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 0.2775 mm
足し合わせる
δ = 1.283 + 0.2775 = 1.56 mm
答え
δ = 1.56 mm
12.はりのたわみ
答え: RB = 27 kN
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = wL⁴/(8EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·12·6/8 = 27 kN
答え
RB = 27 kN
13.柱の座屈
答え: Pcr = 38.59 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1500² = 38586 N = 38.59 kN
答え
Pcr = 38.59 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 19.28 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/12.5 = 320
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19.28 MPa
答え
σcr = 19.28 MPa
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