軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 30 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 25 kN区間 1：Ø25 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø20 mm、2 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 25 mm、長さ 2 m、区間 BC は直径 20 mm、長さ 0.5 m である。自由端 C にトルク 400 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
T = 400 N·md1 = 25 mm, L1 = 2 md2 = 20 mm, L2 = 0.5 m
τmax = MPa
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 1450 rpm で 50 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.6 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 50 kWN = 1450 rpmdi/do = 0.6τallow = 80 MPa
do = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
55 kN @ 3 m45 kN @ 2 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 A から支点間の反曲点（曲げモーメントの符号が変わる点）までの距離 xc を求めよ。
L = 10.5 mw = 5 kN/m（0 から 10.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 8 m
xc = m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
200 mm × 200 mm の板に、幅 40 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 120 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 200 mmh = 200 mm切り欠き: 40 × 30 mm穴の中心: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 60 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = 10 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 60 MPaσy = −20 MPaτxy = 10 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −20 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 25° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −20 MPaσy = 70 MPaτxy = 60 MPaθ = 25°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。
P = 24 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 12 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 85 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 85 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.238 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 30·1000/201.1 = 149.2 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 149.2/100000 = 0.001492 = 1492 µε
伸び
δ = ε·L = 0.001492·1500 mm = 2.238 mm
答え
δ = 2.238 mm
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 3.292 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 50.93 MPa
σ2 = 79.58 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 50.93·2000/100000 = 1.019 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 79.58·2000/70000 = 2.274 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.292 mm
答え
δ = 3.292 mm
3.軸のねじり
答え: τmax = 254.6 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
各区間の応力
T = 400 N·m = 400000 N·mm
τAB = 16·400000/(π·25³) = 130.4 MPa
τBC = 16·400000/(π·20³) = 254.6 MPa
答え
τmax = 254.6 MPa
4.軸のねじり
答え: do = 28.88 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 50000/151.8 = 329.3 N·m
許容応力からの外径
T = 329.3 N·m = 329286 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·329286/(π·80·0.8704)) = 28.88 mm
di = 0.6·28.88 = 17.33 mm
答え
do = 28.88 mm
中実軸なら d = 27.57 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: D (x = 3 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 57.5 kN, R2 = 42.5 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 57.5, MC = 115, MD = 127.5 kN·m, ME = 85, MF = 42.5, MG = 0
答え
点 D: MD = 127.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: xc = 7.219 m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·10.5 = 52.5 kN、作用点 x̄ = 5.25 m
ΣMA = 0: RB·8 = 5·10.5·5.25
RB = 275.6/8 = 34.45 kN
ΣFy = 0: RA = 52.5 − 34.45 = 18.05 kN
モーメント 0 の位置
支点間では M(x) = RA·x − w·x²/2。x = 0 を除くと、x = 2RA/w で 0 になります。
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·18.05/5 = 7.219 m
答え
xc = 7.219 m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 79.16 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 280 + 20/2 = 290 mm
ウェブ: Aw = 14·280 = 3920 mm², yw = 280/2 = 140 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·290 + 3920·140)/9920 = 230.7 mm
平行軸の定理
フランジ: 300·20³/12 + 6000·(290 − 230.7)² = 2.128 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 14·280³/12 + 3920·(140 − 230.7)² = 5.788 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.128 × 10⁷ + 5.788 × 10⁷ = 7.916 × 10⁷ mm⁴ = 79.16 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 79.16 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 132.7 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (40000·100 − 1200·120)/(40000 − 1200) = 99.38 mm
ȳ まわりの全体の板
200·200³/12 + 40000·0.6186² = 133.3 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
40·30³/12 + 1200·20.62² = 0.6001 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 132.7 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 132.7 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 7.018 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·10, 60 − −20) = 14.04°
要素上の角度
θp = 7.018°
答え
θp = 7.018°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 42.04 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 25 + −45·0.6428 + 60·0.766 = 42.04 MPa
答え
σθ = 42.04 MPa
11.はりのたわみ
答え: δB = 22.46 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 24000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
自由端のたわみ
荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。
δP = Pa³/(3EI) = 5.614 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.004211 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 22.46 mm
答え
δB = 22.46 mm
12.はりのたわみ
答え: Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·8000⁴/(384·200000·22.22) = 1.44 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 144 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈
答え: Pcr = 411.2 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/2000² = 411234 N = 411.2 kN
答え
Pcr = 411.2 kN
14.柱の座屈
答え: d = 76.97 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·85000 = 212500 N
KL = 1·4000 = 4000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 76.97 mm
答え
d = 76.97 mm
確認：細長比 KL/r は 207.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials