材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 16 mm銅1.5 mP = 20 kN

銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 20 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
30 kN12500 mm200 mmØ25Ø50σ2​ = ?

鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 200 mm、E = 110 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 30 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
T = 250 N·md = 25 mmL = 1.2 mφ = ?

黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 250 N·md = 25 mmL = 1.2 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
Td = ?

中実軸が 750 rpm で 50 kW を伝達し、せん断応力が 80 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 50 kWN = 750 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
10 kN/m50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

50 kN @ 6 m10 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 10 kN/mABC5 m1.5 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 6.5 mw = 10 kN/m（0 から 6.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 5 m
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
2201528020x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 220 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
1402510012xM = 5 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 5 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。

bf = 140 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 100 mmM = 5 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −30τxy​ = 50MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −30 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = 50 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。

σx = −30 MPaσy = 0 MPaτxy = 50 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 10σy​ = 0τxy​ = 60MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 10 MPa、σᵧ = 0 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 20° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。

σx = 10 MPaσy = 0 MPaτxy = 60 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
P = 20 kNABδ5 m3 m

単純ばりの支点 A から a = 5 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 20 kNa = 5 mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
P = 14 kNABδ4 m2 m

単純ばりの支点 B から b = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。 はりの最大たわみ δmax を求めよ。

P = 14 kNb = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 2.5 md = 40 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 4 md = 60 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 850.2 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 20·1000/201.1 = 99.47 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 99.47/117000 = 0.0008502 = 850.2 µε

答え

ε = 850.2 µε
2.軸応力とひずみ

答え: σ2 = 12.93 MPa

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

剛性

k₁ = 200000·490.9/500 = 196350 N/mm
k₂ = 110000·1963/200 = 1.08 × 10⁶ N/mm

区間 2 の分担

F2 = 30000·1.08 × 10⁶/1.276 × 10⁶ = 25385 N

応力

σ2 = 25385/1963 = 12.93 MPa （圧縮）

答え

σ2 = 12.93 MPa
3.軸のねじり

答え: φ = 11.49 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(39000·38350) = 0.2006 rad
φ = 0.2006·180/π = 11.49°

答え

φ = 11.49°
4.軸のねじり

答え: d = 34.35 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 50000/78.54 = 636.6 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·636620/(π·80)) = 34.35 mm

答え

d = 34.35 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 85 kN, R2 = 85 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 150, MC = 260, MD = 330 kN·m, ME = 260, MF = 150, MG = 0

答え

点 D: MD = 330 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 25.88 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·6.5 = 65 kN、作用点 x̄ = 3.25 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·6.5·3.25
RB = 211.3/5 = 42.25 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 42.25 = 22.75 kN

せん断力 0 の位置

RA − w·x0 = 0 → x0 = 22.75/10 = 2.275 m

最大の正の曲げモーメント

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 22.75²/(2·10) = 25.88 kN·m

答え

Mmax = 25.88 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 81.82 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 220·15 = 3300 mm², yf = 280 + 15/2 = 287.5 mm
ウェブ: Aw = 20·280 = 5600 mm², yw = 280/2 = 140 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3300·287.5 + 5600·140)/8900 = 194.7 mm

平行軸の定理

フランジ: 220·15³/12 + 3300·(287.5 − 194.7)² = 2.849 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 20·280³/12 + 5600·(140 − 194.7)² = 5.334 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.849 × 10⁷ + 5.334 × 10⁷ = 8.182 × 10⁷ mm⁴ = 81.82 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 81.82 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: σ上端 = 30.45 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 140·25 = 3500 mm², yf = 100 + 25/2 = 112.5 mm
ウェブ: Aw = 12·100 = 1200 mm², yw = 100/2 = 50 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3500·112.5 + 1200·50)/4700 = 96.54 mm

平行軸の定理

フランジ: 140·25³/12 + 3500·(112.5 − 96.54)² = 1.074 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 12·100³/12 + 1200·(50 − 96.54)² = 3.599 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.074 × 10⁶ + 3.599 × 10⁶ = 4.673 × 10⁶ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 125 − 96.54 = 28.46 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·28.46/4.673 × 10⁶ = 30.45 MPa

答え

σ上端 = 30.45 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τabs = 52.2 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。

στxyCσ1​σ2​

面内の主応力

C = −15 MPa, R = √((−15)² + 50²) = 52.2 MPa
σ1 = 37.2 MPa, σ2 = −67.2 MPa, σz = 0

3 つの円のうち最大のもの

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(104.4, 37.2, 67.2)/2 = 52.2 MPa

答え

τabs = 52.2 MPa

ここでは σ₁ と σ₂ の符号が逆なので、面内最大値 R が絶対最大値でもあります。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σθ = −29.74 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

σθ = 5 + 5·0.766 + 60·−0.6428 = −29.74 MPa

答え

σθ = −29.74 MPa
11.はりのたわみ

答え: δP = 26.04 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 20000 N, a = 5000 mm, b = 3000 mm, L = 8000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 20000·5000²·3000²/(3·7.2 × 10¹²·8000) = 26.04 mm

答え

δP = 26.04 mm
12.はりのたわみ

答え: δmax = 1.693 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 14000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

最大たわみの位置

長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2000²)/3) = 3266 mm

最大たわみ

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 1.693 mm

答え

δmax = 1.693 mm
13.柱の座屈

答え: Pcr = 55.56 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1250² = 55563 N = 55.56 kN

答え

Pcr = 55.56 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 19.83 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/15 = 186.7

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/186.7² = 19.83 MPa

答え

σcr = 19.83 MPa

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