軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける鋼製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 105 kNd = 30 mmL = 3 mE = 200 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa、許容応力 200 MPa）が、青銅 でできた管（外径 80 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa、許容応力 100 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 250 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 40 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 250 N·mdi/do = 0.7τallow = 40 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
直径 50 mm のアルミニウム製の中実軸が A で固定されている。A から 1.2 m の B にトルク 200 N·m が作用し、さらに 3 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 400 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 50 mmTB = 200 N·mTC = 400 N·mAB = 1.2 mBC = 3 m
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mw = 6 kN/m（0 から 8 m まで）x = 5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 8 mP = 60 kN 位置 5 mw = 2 kN/m（0 から 8 m まで）x = 5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
120 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 30 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 195 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 300 mmd = 30 mm穴の中心: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm × 150 mm の板に、幅 60 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 90 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 150 mm切り欠き: 60 × 20 mm穴の中心: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 10 MPa、σᵧ = −50 MPa、τₓᵧ = −10 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 10 MPaσy = −50 MPaτxy = −10 MPa
θs = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −20 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 45° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = −20 MPaσy = −70 MPaτxy = 20 MPaθ = 45°
τθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 24 kNa = 2 mL = 8 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。
L = 3 mw = 4 kN/m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 80 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.228 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 105·1000/706.9 = 148.5 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 148.5/200000 = 0.0007427 = 742.7 µε
伸び
δ = ε·L = 0.0007427·3000 mm = 2.228 mm
答え
δ = 2.228 mm
2.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 434.8 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·3063 = 4.783 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.001, 0.0009091) = 0.0009091 (青銅)
最大荷重
Pmax = 0.0009091·4.783 × 10⁸ = 434825 N = 434.8 kN
答え
Pmax = 434.8 kN
3.軸のねじり
答え: do = 34.73 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·40·0.7599)) = 34.73 mm
di = 0.7·34.73 = 24.31 mm
答え
do = 34.73 mm
中実軸なら d = 31.69 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: τmax = 16.3 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 400 N·m
TAB = TC − TB = 400 − 200 = 200 N·m
最大せん断応力
内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。
|T|max = 400 N·m
τmax = 16·400000/(π·50³) = 16.3 MPa
答え
τmax = 16.3 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 45 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·8·4
RB = 192/8 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
x = 5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 24·5 − 6·5·2.5 = 45 kN·m
答え
Mx = 45 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 127.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 60·5 + 2·8·4
RB = 364/8 = 45.5 kN
ΣFy = 0: RA = 76 − 45.5 = 30.5 kN
x = 5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 30.5·5 − 2·5·2.5 = 127.5 kN·m
答え
Mx = 127.5 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 268.5 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (36000·150 − 706.9·195)/(36000 − 706.9) = 149.1 mm
ȳ まわりの全体の板
120·300³/12 + 36000·0.9013² = 270 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·30⁴/64 + 706.9·45.9² = 1.529 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 268.5 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 268.5 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 27.79 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (15000·75 − 1200·90)/(15000 − 1200) = 73.7 mm
ȳ まわりの全体の板
100·150³/12 + 15000·1.304² = 28.15 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
60·20³/12 + 1200·16.3² = 0.359 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 27.79 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 27.79 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = −54.22 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = −10/31.62 = −0.3162, sin 2θs = −30/31.62 = −0.9487
2θs = atan2(−30, −10) = −108.4°
要素上の角度
θs = −54.22°
確認: θs − θp = −54.22 − (−9.217) = −45°
答え
θs = −54.22°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = −25 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −25·1 + 20·0 = −25 MPa
答え
τθ = −25 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 17.14 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 24000 N, a = 2000 mm, b = 6000 mm, L = 8000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 24000·2000²·6000²/(3·8.4 × 10¹²·8000) = 17.14 mm
答え
δP = 17.14 mm
12.はりのたわみ
答え: RB = 4.5 kN
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = wL⁴/(8EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·4·3/8 = 4.5 kN
答え
RB = 4.5 kN
13.柱の座屈
答え: Pcr = 20.47 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/1500² = 20470 N = 20.47 kN
答え
Pcr = 20.47 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 4.318 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·4000 = 8000 mm
KL/r = 8000/20 = 400
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa
答え
σcr = 4.318 MPa
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