軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 45 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 85 kN区間 1：Ø35 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø20 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
鋼製の段付き中実軸が A で固定されている。区間 AB は直径 60 mm、長さ 0.8 m、区間 BC は直径 30 mm、長さ 1.2 m である。自由端 C にトルク 2000 N·m が作用する。 端 C のねじれ角 φC を度で求めよ。
T = 2000 N·md1 = 60 mm, L1 = 0.8 md2 = 30 mm, L2 = 1.2 mG = 80 GPa
φC = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 50 mm のアルミニウム製の中実軸が A で固定されている。A から 0.5 m の B にトルク 400 N·m が作用し、さらに 3 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 500 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 50 mmTB = 400 N·mTC = 500 N·mAB = 0.5 mBC = 3 mG = 26 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
15 kN @ 5 m60 kN @ 1 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
50 kN @ 0 m40 kN @ 12 m50 kN @ 4 m5 kN/m, 2–10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 280 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
150 mm × 240 mm の板に、幅 30 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 72 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 150 mmh = 240 mm切り欠き: 30 × 40 mm穴の中心: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 80 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 80 MPaσy = 120 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 40 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 30° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 40 MPaσy = −10 MPaτxy = −50 MPaθ = 30°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。
P = 4 kNw = 8 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
幅 125 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 2 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 125 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 1.836 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 45·1000/314.2 = 143.2 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 143.2/117000 = 0.001224 = 1224 µε
伸び
δ = ε·L = 0.001224·1500 mm = 1.836 mm
答え
δ = 1.836 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 270.6 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 88.35 MPa
σ2 = 270.6 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 270.6 MPa
答え
σmax = 270.6 MPa
3.軸のねじり
答え: φC = 22.52 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J1 = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
各区間のねじれ角
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 2 × 10⁶·800/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.01572 rad
φBC = 2 × 10⁶·1200/(80000·79522) = 0.3773 rad
全ねじれ角
φC = 0.01572 + 0.3773 = 0.393 rad = 22.52°
答え
φC = 22.52°
4.軸のねじり
答え: φC = 7.003 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC + TB = 500 + 400 = 900 N·m
各区間のねじれ角
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 900000·500/(26000·613592) = 0.02821 rad
φBC = 500000·3000/(26000·613592) = 0.09402 rad
端 C のねじれ角
φC = 0.02821 + 0.09402 = 0.1222 rad → |φC| = 7.003°
答え
φC = 7.003°
5.せん断力と曲げモーメント
答え: B (x = 1 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 52.5 kN, R2 = 22.5 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 52.5 kN·m, MC = 45, MD = 37.5, ME = 30, MF = 22.5, MG = 0
答え
点 B: MB = 52.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: B (x = 2 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 110 kN, R2 = 70 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = −100 kN·m, MC = 10, MD = 0, ME = −30, MF = −80, MG = 0
答え
点 B: MB = −100 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 15.43 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 280·20 = 5600 mm², yf = 140 + 20/2 = 150 mm
ウェブ: Aw = 18·140 = 2520 mm², yw = 140/2 = 70 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5600·150 + 2520·70)/8120 = 125.2 mm
平行軸の定理
フランジ: 280·20³/12 + 5600·(150 − 125.2)² = 3.639 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 18·140³/12 + 2520·(70 − 125.2)² = 1.179 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.639 × 10⁶ + 1.179 × 10⁷ = 1.543 × 10⁷ mm⁴ = 15.43 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 15.43 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 169.8 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (36000·120 − 1200·72)/(36000 − 1200) = 121.7 mm
ȳ まわりの全体の板
150·240³/12 + 36000·−1.655² = 172.9 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
30·40³/12 + 1200·−49.66² = 3.119 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 169.8 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 169.8 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 61.85 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·30, 80 − 120) = 123.7°
要素上の角度
θp = 61.85°
答え
θp = 61.85°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −15.8 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 15 + 25·0.5 + −50·0.866 = −15.8 MPa
答え
σθ = −15.8 MPa
11.はりのたわみ
答え: δ = 72.44 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 4000 N, w = 8 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²
各荷重を単独で
δP = PL³/(3EI) = 4000·1500³/(3·1.32 × 10¹¹) = 34.09 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·1.32 × 10¹¹) = 38.35 mm
足し合わせる
δ = 34.09 + 38.35 = 72.44 mm
答え
δ = 72.44 mm
12.はりのたわみ
答え: hreq = 195.4 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/360 = 4500/360 = 12.5 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·12.5) = 7.766 × 10⁷ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·7.766 × 10⁷/125)1/3 = 195.4 mm
答え
hreq = 195.4 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
13.柱の座屈
答え: Pcr = 12.24 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/2100² = 12239 N = 12.24 kN
答え
Pcr = 12.24 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 1.554 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/15 = 666.7
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/666.7² = 1.554 MPa
答え
σcr = 1.554 MPa
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