軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。
P = 55 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 65 kN区間 1：Ø40 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
長さ 2.5 m の鋼製の中実軸がトルク 2000 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 2° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 2000 N·mL = 2.5 mG = 80 GPaφallow = 2°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 1500 rpm で 10 kW を伝達し、せん断応力が 60 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 10 kWN = 1500 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
50 kN @ 8 m5 kN/m, 0–10 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP = 20 kN 位置 3 mw = 3 kN/m（0 から 5 m まで）x = 3 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 160 mmtf = 25 mmtw = 16 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 60 MPa、圧縮で 120 MPa である。 はりが負担できる最大の正の曲げモーメント Mallow を求めよ。
bf = 280 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 240 mmσt,allow = 60 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 70 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 70 MPaσy = −70 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 80 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 30° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 80 MPaσy = 60 MPaτxy = −50 MPaθ = -30°
τθ = MPa
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。
w = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
幅 75 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 1 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 75 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 20 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 130 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 130 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 4.377 mm
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 55·1000/314.2 = 175.1 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 175.1/100000 = 0.001751 = 1751 µε
伸び
δ = ε·L = 0.001751·2500 mm = 4.377 mm
答え
δ = 4.377 mm
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.683 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 51.73 MPa
σ2 = 323.3 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 51.73·1000/200000 = 0.2586 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 323.3·1500/200000 = 2.425 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.683 mm
答え
δ = 2.683 mm
3.軸のねじり
答え: d = 65.35 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 2.5 m = 2500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 2·π/180 = 0.03491 rad
J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·2500/(80000·0.03491) = 1.79 × 10⁶ mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 65.35 mm
答え
d = 65.35 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: d = 17.55 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 10000/157.1 = 63.66 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·63662/(π·60)) = 17.55 mm
答え
d = 17.55 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: E (x = 8 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 45.83 kN, R2 = 54.17 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 81.67, MC = 143.3, MD = 185, ME = 206.7 kN·m, MF = 108.3, MG = 0
答え
点 E: ME = 206.7 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 33 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·3 + 3·5·2.5
RB = 97.5/5 = 19.5 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 19.5 = 15.5 kN
x = 3 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 15.5·3 − 3·3·1.5 = 33 kN·m
答え
Mx = 33 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 19.03 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 160·25 = 4000 mm², yf = 160 + 25/2 = 172.5 mm
ウェブ: Aw = 16·160 = 2560 mm², yw = 160/2 = 80 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·172.5 + 2560·80)/6560 = 136.4 mm
平行軸の定理
フランジ: 160·25³/12 + 4000·(172.5 − 136.4)² = 5.42 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 16·160³/12 + 2560·(80 − 136.4)² = 1.361 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.42 × 10⁶ + 1.361 × 10⁷ = 1.903 × 10⁷ mm⁴ = 19.03 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 19.03 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Mallow = 13.58 kN·m
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
図心
ȳ = (2800·245 + 3360·120)/6160 = 176.8 mm
上縁: c = 250 − 176.8 = 73.18 mm
断面二次モーメント
I = 280·10³/12 + 2800·68.18² + 14·240³/12 + 3360·56.82² = 4.001 × 10⁷ mm⁴
各縁で許容されるモーメント
正の曲げ：上側は圧縮、下側は引張です。
上縁: M = 120·4.001 × 10⁷/73.18 = 65.61 kN·m
下縁: M = 60·4.001 × 10⁷/176.8 = 13.58 kN·m
決定値
Mallow = min = 13.58 kN·m (下縁)
答え
Mallow = 13.58 kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 76.16 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((70 − −70)/2)² + 30²) = 76.16 MPa
答え
τmax = 76.16 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = −16.34 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −10·−0.866 + −50·0.5 = −16.34 MPa
答え
τθ = −16.34 MPa
11.はりのたわみ
答え: δ = 2.143 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
たわみ
δ = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·1.12 × 10¹³) = 2.143 mm
答え
δ = 2.143 mm
12.はりのたわみ
答え: hreq = 122.6 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 1 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·3000⁴/(384·11000·8.333) = 1.151 × 10⁷ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·1.151 × 10⁷/75)1/3 = 122.6 mm
答え
hreq = 122.6 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
13.柱の座屈
答え: Pcr = 3.515 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2100² = 3515 N = 3.515 kN
答え
Pcr = 3.515 kN
14.柱の座屈
答え: d = 92.08 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·130000 = 390000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 92.08 mm
答え
d = 92.08 mm
確認：細長比 KL/r は 108.6 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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