軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 120 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 600 mm で、剛な板の間で 300 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 300 kN棒: Ø40 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 40 mm、長さ 200 mm、E = 70 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 40 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 750 N·md = 40 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 25 mm の鋼製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 0.8 m、B から 2.5 m の C にトルク 400 N·m が作用する。 壁 A における反力トルク TA を求めよ。
d = 25 mmT0 = 400 N·ma = 0.8 mb = 2.5 m
TA = N·m
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 3.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 6 mw = 10 kN/m（0 から 6 m まで）x = 3.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 4 mP = 55 kN 位置 1 mw = 2 kN/m（0 から 4 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
対称な I 形断面のフランジは幅 180 mm、厚さ 24 mm、全高は 440 mm、ウェブの厚さは 8 mm である。 水平な図心軸 x まわりの曲げに対する弾性断面係数 Sx を求めよ。
B = 180 mmH = 440 mmtf = 24 mmtw = 8 mm
Sx = × 10³ mm³
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 60 MPa、圧縮で 100 MPa である。 はりが負担できる最大の正の曲げモーメント Mallow を求めよ。
bf = 300 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 280 mmσt,allow = 60 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 40 MPa、σᵧ = 120 MPa、τₓᵧ = −30 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 40 MPaσy = 120 MPaτxy = −30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −10 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 30° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −10 MPaσy = −30 MPaτxy = −20 MPaθ = 30°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。
w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
幅 150 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/250 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 150 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.1407 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·9346 = 1.279 × 10⁹ N
縮み
δ = 300000·600/1.279 × 10⁹ = 0.1407 mm
答え
δ = 0.1407 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 15.37 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 70000·1257/200 = 439823 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 40000·439823/911062 = 19310 N
応力
σ2 = 19310/1257 = 15.37 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 15.37 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 19.73 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(26000·251327) = 0.3443 rad
φ = 0.3443·180/π = 19.73°
答え
φ = 19.73°
4.軸のねじり
答え: TA = 303 N·m
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。
つり合いと適合条件
TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·2.5/3.3 = 303 N·m
TB = 400·0.8/3.3 = 96.97 N·m
答え
TA = 303 N·m
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 43.75 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·6·3
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
x = 3.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 30·3.5 − 10·3.5·1.75 = 43.75 kN·m
答え
Mx = 43.75 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 44.25 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·1 + 2·4·2
RB = 71/4 = 17.75 kN
ΣFy = 0: RA = 63 − 17.75 = 45.25 kN
V = 0 となるのはどこですか？
V(1⁻) = RA − w·1 = 43.25 kN
V(1⁺) = 43.25 − 55 = −11.75 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。
最大モーメント
Mmax = RA·1 − w·1²/2 = 45.25·1 − 2·1²/2 = 44.25 kN·m
答え
Mmax = 44.25 kN·m
それは A から x = 1 m の位置に生じます。
7.図心と断面二次モーメント
答え: Sx = 1884 × 10³ mm³
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 440 − 2·24 = 392 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (180·440³ − 172·392³)/12
Ix = 4.144 × 10⁸ mm⁴
断面係数
c = H/2 = 220 mm
Sx = I/c = 4.144 × 10⁸/220
Sx = 1.884 × 10⁶ mm³ = 1884 × 10³ mm³
答え
Sx = 1884 × 10³ mm³
8.図心と断面二次モーメント
答え: Mallow = 24.26 kN·m
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
図心
ȳ = (4500·287.5 + 5040·140)/9540 = 209.6 mm
上縁: c = 295 − 209.6 = 85.42 mm
断面二次モーメント
I = 300·15³/12 + 4500·77.92² + 18·280³/12 + 5040·69.58² = 8.473 × 10⁷ mm⁴
各縁で許容されるモーメント
正の曲げ：上側は圧縮、下側は引張です。
上縁: M = 100·8.473 × 10⁷/85.42 = 99.19 kN·m
下縁: M = 60·8.473 × 10⁷/209.6 = 24.26 kN·m
決定値
Mallow = min = 24.26 kN·m (下縁)
答え
Mallow = 24.26 kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 65 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 80 MPa, R = √((−40)² + (−30)²) = 50 MPa
σ1 = 130 MPa, σ2 = 30 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(100, 130, 30)/2 = 65 MPa
答え
τabs = 65 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −32.32 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −20 + 10·0.5 + −20·0.866 = −32.32 MPa
答え
σθ = −32.32 MPa
11.はりのたわみ
答え: δ = 12.24 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 2500 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
たわみ
δ = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·3.99 × 10¹²) = 12.24 mm
答え
δ = 12.24 mm
12.はりのたわみ
答え: hreq = 180.9 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/250 = 5000/250 = 20 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·20) = 7.398 × 10⁷ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·7.398 × 10⁷/150)1/3 = 180.9 mm
答え
hreq = 180.9 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
13.柱の座屈
答え: Pcr = 9.646 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·3000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9.646 kN
答え
Pcr = 9.646 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 77.11 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/6.25 = 160
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77.11 MPa
答え
σcr = 77.11 MPa
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