軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 80 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 50 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 50 kN棒: Ø40 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 80 kN区間 1：Ø30 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø12 mm、0.5 m、銅（E = 117 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 100 N·md = 50 mmL = 1.2 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 750 rpm で 100 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 100 kWN = 750 rpmdo = 80 mmdi = 48 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 9 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 10 mw = 4 kN/m（0 から 10 m まで）x = 9 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 5 mP = 65 kN 位置 3.5 mw = 12 kN/m（0 から 5 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
円管の外径は D = 160 mm、内径は d = 136 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。
D = 160 mmd = 136 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
対称な I 形断面のフランジは幅 140 mm、厚さ 16 mm、全高は 400 mm、ウェブの厚さは 8 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 120 kN·m を受ける。 断面内の最大曲げ応力の大きさ σmax を求めよ。
B = 140 mmH = 400 mmtf = 16 mmtw = 8 mmM = 120 kN·m
σmax = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 40 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = −50 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 20°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = 40 MPaσy = −30 MPaτxy = −50 MPaθ = 20°
σy′ = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 120 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = −40 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 275 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = 120 MPaσy = 60 MPaτxy = −40 MPaσY = 275 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 はりの最大たわみ δmax を求めよ。
P = 27 kNb = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 125 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 125 kNn = 2.5L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.034 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·3063 = 5.883 × 10⁸ N
縮み
δ = 50000·400/5.883 × 10⁸ = 0.034 mm
答え
δ = 0.034 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 707.4 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 113.2 MPa
σ2 = 707.4 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 707.4 MPa
答え
σmax = 707.4 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 0.431 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(26000·613592) = 0.007522 rad
φ = 0.007522·180/π = 0.431°
答え
φ = 0.431°
4.軸のねじり
答え: τmax = 14.55 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m
断面二次極モーメント
J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3.5 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 1.273 × 10⁶·40/3.5 × 10⁶ = 14.55 MPa
答え
τmax = 14.55 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 18 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 4·10·5
RB = 200/10 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
x = 9 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 20·9 − 4·9·4.5 = 18 kN·m
答え
Mx = 18 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 99.75 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 65·3.5 + 12·5·2.5
RB = 377.5/5 = 75.5 kN
ΣFy = 0: RA = 125 − 75.5 = 49.5 kN
V = 0 となるのはどこですか？
V(3.5⁻) = RA − w·3.5 = 7.5 kN
V(3.5⁺) = 7.5 − 65 = −57.5 kN
荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。
最大モーメント
Mmax = RA·3.5 − w·3.5²/2 = 49.5·3.5 − 12·3.5²/2 = 99.75 kN·m
答え
Mmax = 99.75 kN·m
それは A から x = 3.5 m の位置に生じます。
7.図心と断面二次モーメント
答え: r = 52.5 mm
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。
正味の断面積と断面二次モーメント
A = π(D² − d²)/4 = 5579 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.538 × 10⁷ mm⁴
断面二次半径
r = √(I/A) = √(1.538 × 10⁷/5579) = 52.5 mm
答え
r = 52.5 mm
8.図心と断面二次モーメント
答え: σmax = 120.9 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 400 − 2·16 = 368 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (140·400³ − 132·368³)/12
Ix = 1.985 × 10⁸ mm⁴
曲げ応力
y = 200 mm
σ = M·y/I = 1.2 × 10⁸·200/1.985 × 10⁸ = 120.9 MPa
答え
σmax = 120.9 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = 10.33 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = 5 − 35·0.766 − (−50)·0.6428 = 10.33 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −0.3278 MPa, σx′ + σy′ = 10 = σx + σy
答え
σy′ = 10.33 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 2.202
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = 90 MPa, R = 50 MPa
σ1 = 140 MPa, σ2 = 40 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(140² − 140·40 + 40²) = 124.9 MPa
n = 275/124.9 = 2.202
答え
n = 2.202
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
11.はりのたわみ
答え: δmax = 1.042 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 10 N/mm, L = 4000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·3.2 × 10¹³) = 1.042 mm
答え
δmax = 1.042 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 10.48 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 27000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
最大たわみの位置
長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。
x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm
最大たわみ
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 10.48 mm
答え
δmax = 10.48 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 8.721 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1500 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8.721 kN
答え
Pcr = 8.721 kN
14.柱の座屈
答え: d = 135 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·125000 = 312500 N
KL = 1·6000 = 6000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·312500·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 135 mm
答え
d = 135 mm
確認：細長比 KL/r は 177.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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