材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 12 mmアルミニウム3 mP = 60 kN

アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 60 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 25 mmアルミニウム0.5 mØ 16 mm鋼0.5 mP = 85 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。

P = 85 kN区間 1：Ø25 mm、0.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø16 mm、0.5 m、鋼（E = 200 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
T = 1000 N·md = 50 mmL = 1 mφ = ?

アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 1000 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
do​ = ?10 kW, 500 rpm

中空軸が 500 rpm で 10 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.75 倍とし、せん断応力は 50 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。

P = 10 kWN = 500 rpmdi/do = 0.75τallow = 50 MPa
do = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 6 kN/mAB断面2.5 m1.5 m

支点 A から x = 2.5 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mw = 6 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2.5 m
Vx = kN
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 12 kN/mP = 20 kNAB断面3.5 m1.5 m1 m

支点 A から x = 5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP = 20 kN 位置 3.5 mw = 12 kN/m（0 から 6 m まで）x = 5 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
1002522010x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm240 mm96 mm60 × 40xIx​ = ?

100 mm × 240 mm の板に、幅 60 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 96 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 100 mmh = 240 mm切り欠き: 60 × 40 mm穴の中心: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −50σy​ = −70τxy​ = −30MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −50 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = −50 MPaσy = −70 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​τxy​軸の上表面

直径 40 mm の中実軸が曲げモーメント 1000 N·mとトルク 200 N·m を同時に受ける。 曲げ応力が引張で最大となる上表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。

d = 40 mmM = 1000 N·mT = 200 N·m
σ1 = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 4 kN/mABθ8 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。

w = 4 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.はりのたわみむずかしい
w = 15 kN/mδL = 6 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 15 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
PL = 4 md = 50 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 115 kNL = 3 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 115 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 115 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 7579 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 60·1000/113.1 = 530.5 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 530.5/70000 = 0.007579 = 7579 µε

答え

ε = 7579 µε
2.軸応力とひずみ

答え: σmax = 422.8 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 173.2 MPa
σ2 = 422.8 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σmax = 422.8 MPa

答え

σmax = 422.8 MPa
3.軸のねじり

答え: φ = 3.591 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1000/(26000·613592) = 0.06268 rad
φ = 0.06268·180/π = 3.591°

答え

φ = 3.591°
4.軸のねじり

答え: do = 30.53 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m

許容応力からの外径

T = 191 N·m = 190986 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·50·0.6836)) = 30.53 mm
di = 0.75·30.53 = 22.9 mm

答え

do = 30.53 mm

中実軸なら d = 26.89 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Vx = −3 kN

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 6·4·2
RB = 48/4 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 12RB​ = 12断面2.5 m1.5 m

x = 2.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 12 − 6·2.5 = −3 kN

答え

Vx = −3 kN
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 41.67 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 20·3.5 + 12·6·3
RB = 286/6 = 47.67 kN
ΣFy = 0: RA = 92 − 47.67 = 44.33 kN
w = 12 kN/mP = 20 kNABRA​ = 44.33RB​ = 47.67断面3.5 m1.5 m1 m

x = 5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 44.33·5 − 20·(5 − 3.5) − 12·5·2.5 = 41.67 kN·m

答え

Mx = 41.67 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 26.56 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 100·25 = 2500 mm², yf = 220 + 25/2 = 232.5 mm
ウェブ: Aw = 10·220 = 2200 mm², yw = 220/2 = 110 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2500·232.5 + 2200·110)/4700 = 175.2 mm

平行軸の定理

フランジ: 100·25³/12 + 2500·(232.5 − 175.2)² = 8.35 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 10·220³/12 + 2200·(110 − 175.2)² = 1.821 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8.35 × 10⁶ + 1.821 × 10⁷ = 2.656 × 10⁷ mm⁴ = 26.56 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 26.56 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 113.3 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (24000·120 − 2400·96)/(24000 − 2400) = 122.7 mm

ȳ まわりの全体の板

100·240³/12 + 24000·−2.667² = 115.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

60·40³/12 + 2400·−26.67² = 2.027 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 113.3 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 113.3 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 31.62 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((−50 − −70)/2)² + −30²) = 31.62 MPa

答え

τmax = 31.62 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ1 = 160.7 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

表面の応力

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·40³) = 159.2 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·40³) = 15.92 MPa
στxyCσ1​σ2​

モールの応力円

C = σ/2 = 79.58 MPa
R = √(79.58² + 15.92²) = 81.15 MPa
σ1 = C + R = 160.7 MPa
σ2 = C − R = −1.576 MPa

答え

σ1 = 160.7 MPa
11.はりのたわみ

答え: θA = 0.002667 rad

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 8000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

端部のたわみ角

θA = wL³/(24EI) = 4·8000³/(24·3.2 × 10¹³) = 0.002667 rad

答え

θA = 0.002667 rad

これは 0.1528° です。

12.はりのたわみ

答え: Ireq = 75.94 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·6000⁴/(384·200000·16.67) = 7.594 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 75.94 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 75.94 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈

答え: Pcr = 27.04 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2800² = 27035 N = 27.04 kN

答え

Pcr = 27.04 kN
14.柱の座屈

答え: d = 56.88 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·115000 = 230000 N
KL = 0.7·3000 = 2100 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 56.88 mm

答え

d = 56.88 mm

確認：細長比 KL/r は 147.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials