軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
棒が、鋼 の区間（直径 30 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、青銅 でできた区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 110 GPa）を端で接合したものでできています。一端が固定され、もう一端が引かれます。全体で 0.25 mm 伸ばす軸荷重 P を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 青銅, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 45 kN区間 1：Ø40 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø16 mm、1.5 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1000 N·md = 25 mmL = 0.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 300 rpm で 10 kW を伝達しなければならない。 内径は外径の 0.8 倍とし、せん断応力は 60 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
P = 10 kWN = 300 rpmdi/do = 0.8τallow = 60 MPa
do = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 9 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 10 mw = 8 kN/m（0 から 10 m まで）x = 9 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP = 15 kN 位置 3 mw = 10 kN/m（0 から 5 m まで）x = 3 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
120 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 50 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 195 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 120 mmh = 300 mmd = 50 mm穴の中心: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 40 kN·m を受ける。 下端の曲げ応力 σ下端 を求めよ。
bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 8 mmhw = 260 mmM = 40 kN·m
σ下端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −40 MPa、σᵧ = −30 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = −40 MPaσy = −30 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 10 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 15° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 10 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 8 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。
L = 4 mw = 15 kN/m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: P = 34.4 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 706.9 mm²
柔軟性
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706.9) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·706.9) = 5.144 × 10⁻⁶ mm/N
荷重
P = 0.25/7.266 × 10⁻⁶ = 34405 N = 34.4 kN
答え
P = 34.4 kN
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 223.8 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 35.81 MPa
σ2 = 223.8 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 223.8 MPa
答え
σmax = 223.8 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 19.15 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(39000·38350) = 0.3343 rad
φ = 0.3343·180/π = 19.15°
答え
φ = 19.15°
4.軸のねじり
答え: do = 35.77 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 10000/31.42 = 318.3 N·m
許容応力からの外径
T = 318.3 N·m = 318310 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·60·0.5904)) = 35.77 mm
di = 0.8·35.77 = 28.62 mm
答え
do = 35.77 mm
中実軸なら d = 30.01 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 36 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 8·10·5
RB = 400/10 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
x = 9 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 40·9 − 8·9·4.5 = 36 kN·m
答え
Mx = 36 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 48 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·3 + 10·5·2.5
RB = 170/5 = 34 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 34 = 31 kN
x = 3 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 31·3 − 10·3·1.5 = 48 kN·m
答え
Mx = 48 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 265.5 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (36000·150 − 1963·195)/(36000 − 1963) = 147.4 mm
ȳ まわりの全体の板
120·300³/12 + 36000·2.596² = 270.2 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·50⁴/64 + 1963·47.6² = 4.755 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 265.5 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 265.5 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ下端 = 221.8 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 260 + 20/2 = 270 mm
ウェブ: Aw = 8·260 = 2080 mm², yw = 260/2 = 130 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·270 + 2080·130)/8080 = 234 mm
平行軸の定理
フランジ: 300·20³/12 + 6000·(270 − 234)² = 7.993 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 8·260³/12 + 2080·(130 − 234)² = 3.42 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.993 × 10⁶ + 3.42 × 10⁷ = 4.219 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
下端は軸から ȳ の位置にあります。
y = 234 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·234/4.219 × 10⁷ = 221.8 MPa
答え
σ下端 = 221.8 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 50.25 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((−40 − −30)/2)² + 50²) = 50.25 MPa
答え
τmax = 50.25 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 22.99 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −5 + 15·0.866 + 30·0.5 = 22.99 MPa
答え
σθ = 22.99 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 2.527 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 8 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 2.527 mm
答え
δmax = 2.527 mm
12.はりのたわみ
答え: RB = 22.5 kN
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = wL⁴/(8EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·4/8 = 22.5 kN
答え
RB = 22.5 kN
13.柱の座屈
答え: Pcr = 11.7 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1500 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/3000² = 11697 N = 11.7 kN
答え
Pcr = 11.7 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 27.76 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/7.5 = 266.7
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266.7² = 27.76 MPa
答え
σcr = 27.76 MPa
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