材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 12 mm黄銅0.5 mP = 115 kN

軸荷重を受ける黄銅製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 115 kNd = 12 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
30 kN12300 mm400 mmØ20Ø40σ2​ = ?

鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、銅 でできた区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 120 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 30 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
T = 200 N·md = 30 mmL = 3 mφ = ?

鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 200 N·md = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
Tdo​ = 50 mm, di​ = 25 mm

中空軸が 3000 rpm で 30 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

P = 30 kWN = 3000 rpmdo = 50 mmdi = 25 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
M0​ = 15 kN·mAB1.5 m3.5 m

単純ばりに、A から x = 1.5 m の位置で時計回りの偶力 M0 = 15 kN·m が作用し、他の荷重はない。 偶力のすぐ左側での曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mM0 = 15 kN·m 時計回り、位置 1.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
12 kN/m50 kN15 kN40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

50 kN @ 0 m15 kN @ 6 m40 kN @ 3 m12 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
240110t = 14ȳ = ?寸法の単位：mm

溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 240 mm の底板と、全高 110 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 14 mm である。 下端から図心までの高さ ȳ を求めよ。

b = 240 mmh = 110 mmt = 14 mm
ȳ = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm240 mm144 mm60 × 40xIx​ = ?

120 mm × 240 mm の板に、幅 60 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 144 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 120 mmh = 240 mm切り欠き: 60 × 40 mm穴の中心: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −30σy​ = 50MPaτxy​ = ?

ある点で σₓ = −30 MPa、σᵧ = 50 MPa である。最大主応力が 85 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。

σx = −30 MPaσy = 50 MPaσ1 = 85 MPa
τxy = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​τxy​軸の上表面

直径 60 mm の中実軸が曲げモーメント 1000 N·mとトルク 2000 N·m を同時に受ける。 曲げ応力が引張で最大となる上表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。

d = 60 mmM = 1000 N·mT = 2000 N·m
σ1 = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 6 kN/mP = 10 kNABδ5 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。

P = 10 kNw = 6 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 2 kN/mδL = 2.5 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 2 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
PL = 3 md = 20 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 20 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 55 kNL = 5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 55 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 55 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 5.084 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 115·1000/113.1 = 1017 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1017/100000 = 0.01017 = 10168 µε

伸び

δ = ε·L = 0.01017·500 mm = 5.084 mm

答え

δ = 5.084 mm
2.軸応力とひずみ

答え: σ2 = 15.35 MPa

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

剛性

k₁ = 200000·314.2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 120000·1257/400 = 376991 N/mm

区間 2 の分担

F2 = 30000·376991/586431 = 19286 N

応力

σ2 = 19286/1257 = 15.35 MPa （圧縮）

答え

σ2 = 15.35 MPa
3.軸のねじり

答え: φ = 5.404 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(80000·79522) = 0.09431 rad
φ = 0.09431·180/π = 5.404°

答え

φ = 5.404°
4.軸のねじり

答え: τmax = 4.15 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 30000/314.2 = 95.49 N·m

断面二次極モーメント

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

最大せん断応力

τmax = T·(do/2)/J = 95493·25/575243 = 4.15 MPa

答え

τmax = 4.15 MPa
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = −4.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：RB·L − M0 = 0。鉛直方向のつり合い：RA + RB = 0。

RB = M0/L = 15/5 = 3 kN (上向き)
RA = −RB = −3 kN (下向き)

偶力のすぐ左で切断

左側部分には RA だけが含まれます。

Mx = RA·a = −3·1.5 = −4.5 kN·m

答え

Mx = −4.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: B (x = 1 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 102.8 kN, R2 = 50.25 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −50 kN·m, MC = −3.25, MD = 31.5, ME = 14.25, MF = −15, MG = 0

答え

点 B: MB = −50 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: ȳ = 31.44 mm

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

長方形に分割

底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。

基剤: A1 = 240·14 = 3360 mm², y1 = 7 mm
2 本の脚: A2 = 2·14·96 = 2688 mm², y2 = 14 + 96/2 = 62 mm

図心

ȳ = (3360·7 + 2688·62)/6048 = 31.44 mm

答え

ȳ = 31.44 mm
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 136.4 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (28800·120 − 2400·144)/(28800 − 2400) = 117.8 mm

ȳ まわりの全体の板

120·240³/12 + 28800·2.182² = 138.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

60·40³/12 + 2400·26.18² = 1.965 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 136.4 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 136.4 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τxy = 63.44 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

必要な半径

C = (−30 + 50)/2 = 10 MPa
R = σ1 − C = 85 − 10 = 75 MPa
στxyCσ1​σ2​

せん断応力

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(75² − 40²) = 63.44 MPa

答え

τxy = 63.44 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ1 = 76.3 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

表面の応力

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·60³) = 47.16 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·60³) = 47.16 MPa
στxyCσ1​σ2​

モールの応力円

C = σ/2 = 23.58 MPa
R = √(23.58² + 47.16²) = 52.72 MPa
σ1 = C + R = 76.3 MPa
σ2 = C − R = −29.14 MPa

答え

σ1 = 76.3 MPa
11.はりのたわみ

答え: δ = 52.7 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 10000 N, w = 6 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(3EI) = 10000·5000³/(3·1.68 × 10¹³) = 24.8 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 6·5000⁴/(8·1.68 × 10¹³) = 27.9 mm

足し合わせる

δ = 24.8 + 27.9 = 52.7 mm

答え

δ = 52.7 mm
12.はりのたわみ

答え: Ireq = 13.32 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·2500⁴/(384·11000·6.944) = 1.332 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 13.32 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 13.32 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈

答え: Pcr = 6.89 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1500² = 6890 N = 6.89 kN

答え

Pcr = 6.89 kN
14.柱の座屈

答え: d = 57.12 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·55000 = 165000 N
KL = 0.5·5000 = 2500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 57.12 mm

答え

d = 57.12 mm

確認：細長比 KL/r は 175.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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