材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 25 mmアルミニウム2 mP = 30 kN

アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 30 kNd = 25 mmL = 2 mE = 70 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 40 mm鋼0.5 mØ 12 mm鋼0.5 mP = 80 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。

P = 80 kN区間 1：Ø40 mm、0.5 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、0.5 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
T = 750 N·md = 25 mmL = 0.5 mφ = ?

黄銅製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 750 N·md = 25 mmL = 0.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
d = 50 mmTB​ = 250 N·mTC​ = 2000 N·mABC1.5 m1 m

直径 50 mm のアルミニウム製の中実軸が A で固定されている。A から 1.5 m の B にトルク 250 N·m が作用し、さらに 1 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 2000 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

d = 50 mmTB = 250 N·mTC = 2000 N·mAB = 1.5 mBC = 1 m
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 6 kN/mAB断面1.5 m4.5 m

支点 A から x = 1.5 m の断面におけるせん断力 Vx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mw = 6 kN/m（0 から 6 m まで）x = 1.5 m
Vx = kN
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
35 kN10 kN35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

35 kN @ 0 m10 kN @ 12 m35 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
260302608x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 260 mmtf = 30 mmtw = 8 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
150 mm300 mm105 mm50 × 50xIx​ = ?

150 mm × 300 mm の板に、幅 50 mm、高さ 50 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 105 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 150 mmh = 300 mm切り欠き: 50 × 50 mm穴の中心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 70σy​ = 60τxy​ = −20MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 70 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σx = 70 MPaσy = 60 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
50°D = 600 mm, t = 10 mm, p = 1.5 MPap

内径 600 mm、肉厚 10 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 1.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 50° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。

D = 600 mmt = 10 mmp = 1.5 MPaα = 50°
σn = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 12 kN/mδL = 2 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 3 kN/mABδ3 m

幅 50 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 50 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 1.5 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 1 md = 20 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 20 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 873.1 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 30·1000/490.9 = 61.12 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 61.12/70000 = 0.0008731 = 873.1 µε

答え

ε = 873.1 µε
2.軸応力とひずみ

答え: δ = 1.928 mm

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 63.66 MPa
σ2 = 707.4 MPa

各区間の伸びを足す

δ1 = σ1L1/E1 = 63.66·500/200000 = 0.1592 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 707.4·500/200000 = 1.768 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.928 mm

答え

δ = 1.928 mm
3.軸のねじり

答え: φ = 14.37 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(39000·38350) = 0.2507 rad
φ = 0.2507·180/π = 14.37°

答え

φ = 14.37°
4.軸のねじり

答え: τmax = 91.67 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

内部トルク

TC の向きを正とする。

TBC = TC = 2000 N·m
TAB = TC + TB = 2000 + 250 = 2250 N·m

最大せん断応力

内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。

|T|max = 2250 N·m
τmax = 16·2.25 × 10⁶/(π·50³) = 91.67 MPa

答え

τmax = 91.67 MPa
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Vx = 9 kN

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·6·3
RB = 108/6 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 18 = 18 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 18RB​ = 18断面1.5 m4.5 m

x = 1.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

V = RA − （切断面より左の下向き荷重すべて）
Vx = 18 − 6·1.5 = 9 kN

答え

Vx = 9 kN
6.せん断力と曲げモーメント

答え: B (x = 2 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 67.5 kN, R2 = 12.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −70 kN·m, MC = −5, MD = −10, ME = −15, MF = −20, MG = 0

答え

点 B: MB = −70 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 46.83 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 260·30 = 7800 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
ウェブ: Aw = 8·260 = 2080 mm², yw = 260/2 = 130 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7800·275 + 2080·130)/9880 = 244.5 mm

平行軸の定理

フランジ: 260·30³/12 + 7800·(275 − 244.5)² = 7.853 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 8·260³/12 + 2080·(130 − 244.5)² = 3.897 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.853 × 10⁶ + 3.897 × 10⁷ = 4.683 × 10⁷ mm⁴ = 46.83 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 46.83 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 331.6 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (45000·150 − 2500·105)/(45000 − 2500) = 152.6 mm

ȳ まわりの全体の板

150·300³/12 + 45000·−2.647² = 337.8 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

50·50³/12 + 2500·−47.65² = 6.196 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 331.6 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 331.6 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θp = −37.98 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

σxyCσ1​σ2​

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θp = atan2(2·−20, 70 − 60) = −75.96°

要素上の角度

θp = −37.98°

答え

θp = −37.98°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σn = 31.8 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。

壁の応力

r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 1.5·300/10 = 45 MPa
σa = pr/(2t) = 22.5 MPa

継目への座標変換

x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。

σn = 22.5·sin²50° + 45·cos²50° = 31.8 MPa

答え

σn = 31.8 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 26.74 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 9.35 × 10¹⁰ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·9.35 × 10¹⁰) = 26.74 mm

答え

δmax = 26.74 mm
12.はりのたわみ

答え: hreq = 190.4 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·10) = 2.876 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·2.876 × 10⁷/50)1/3 = 190.4 mm

答え

hreq = 190.4 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

13.柱の座屈

答え: Pcr = 34.88 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·1500 = 1500 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34.88 kN

答え

Pcr = 34.88 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 35.25 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.7·1000 = 700 mm
KL/r = 700/5 = 140

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa

答え

σcr = 35.25 MPa

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