軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、銅 でできた管（外径 100 mm、内径 60 mm、E = 120 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 500 mm で、剛な板の間で 250 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 250 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 90 kN区間 1：Ø25 mm、1.5 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø12 mm、0.5 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 750 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 300 rpm で 20 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 20 kWN = 300 rpmdo = 60 mmdi = 36 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
55 kN @ 3 m6 kN/m, 0–6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
支点 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 5 mP = 30 kN 位置 1.5 mw = 2 kN/m（0 から 5 m まで）x = 3 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 280 mmtf = 30 mmtw = 18 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
対称な I 形断面のフランジは幅 200 mm、厚さ 24 mm、全高は 380 mm、ウェブの厚さは 12 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 200 kN·m を受ける。 ウェブと上フランジの接合部における曲げ応力の大きさ σj を求めよ。
B = 200 mmH = 380 mmtf = 24 mmtw = 12 mmM = 200 kN·m
σj = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 80 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 80 MPaσy = 30 MPaτxy = 40 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 100 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = 10 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 50° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 100 MPaσy = −60 MPaτxy = 10 MPaθ = 50°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
幅 125 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/300 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 1 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 125 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 20 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 20 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.1877 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·5027 = 6.66 × 10⁸ N
縮み
δ = 250000·500/6.66 × 10⁸ = 0.1877 mm
答え
δ = 0.1877 mm
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 6.729 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 183.3 MPa
σ2 = 795.8 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 183.3·1500/100000 = 2.75 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 795.8·500/100000 = 3.979 mm
δ = δ1 + δ2 = 6.729 mm
答え
δ = 6.729 mm
3.軸のねじり
答え: φ = 5.261 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(26000·251327) = 0.09182 rad
φ = 0.09182·180/π = 5.261°
答え
φ = 5.261°
4.軸のねじり
答え: τmax = 17.25 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 20000/31.42 = 636.6 N·m
断面二次極モーメント
J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1.107 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 636620·30/1.107 × 10⁶ = 17.25 MPa
答え
τmax = 17.25 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: D (x = 3 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 45.5 kN, R2 = 45.5 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 42.5, MC = 79, MD = 109.5 kN·m, ME = 79, MF = 42.5, MG = 0
答え
点 D: MD = 109.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 24 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 30·1.5 + 2·5·2.5
RB = 70/5 = 14 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 14 = 26 kN
x = 3 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 26·3 − 30·(3 − 1.5) − 2·3·1.5 = 24 kN·m
答え
Mx = 24 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 35.16 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 280·30 = 8400 mm², yf = 180 + 30/2 = 195 mm
ウェブ: Aw = 18·180 = 3240 mm², yw = 180/2 = 90 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (8400·195 + 3240·90)/11640 = 165.8 mm
平行軸の定理
フランジ: 280·30³/12 + 8400·(195 − 165.8)² = 7.805 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 18·180³/12 + 3240·(90 − 165.8)² = 2.735 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.805 × 10⁶ + 2.735 × 10⁷ = 3.516 × 10⁷ mm⁴ = 35.16 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 35.16 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σj = 97.3 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 380 − 2·24 = 332 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (200·380³ − 188·332³)/12
Ix = 3.412 × 10⁸ mm⁴
曲げ応力
y = 190 − 24 = 166 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁸·166/3.412 × 10⁸ = 97.3 MPa
答え
σj = 97.3 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 29 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·40, 80 − 30) = 57.99°
要素上の角度
θp = 29°
答え
θp = 29°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 15.96 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 20 + 80·−0.1736 + 10·0.9848 = 15.96 MPa
答え
σθ = 15.96 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 28.01 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 5 N/mm, L = 4000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 28.01 mm
答え
δmax = 28.01 mm
12.はりのたわみ
答え: hreq = 129.7 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 1 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/300 = 4000/300 = 13.33 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·4000⁴/(384·11000·13.33) = 2.273 × 10⁷ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·2.273 × 10⁷/125)1/3 = 129.7 mm
答え
hreq = 129.7 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
13.柱の座屈
答え: Pcr = 3.504 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2800² = 3504 N = 3.504 kN
答え
Pcr = 3.504 kN
14.柱の座屈
答え: d = 74.74 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·20000 = 60000 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 74.74 mm
答え
d = 74.74 mm
確認：細長比 KL/r は 224.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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