軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 10 kNd = 25 mmL = 1 mE = 70 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 45 kN区間 1：Ø40 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø16 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 1800 rpm で 5 kW を伝達し、せん断応力が 50 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 5 kWN = 1800 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
45 kN @ 2 m6 kN/m, 2–5 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 9.5 mw = 6 kN/m（0 から 9.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 8 m
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 300 mm の底板と、全高 120 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 20 mm である。 図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
b = 300 mmh = 120 mmt = 20 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
溶接 I 形断面は、上フランジ 200 × 10 mm、高さ 230 mm・厚さ 12 mm のウェブ、下フランジ 250 × 12 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
上フランジ: 200 × 10 mmウェブ: 12 × 230 mm下フランジ: 250 × 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 70 MPa、σᵧ = 60 MPa、τₓᵧ = 30 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 70 MPaσy = 60 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 600 mm、肉厚 10 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 2.5 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 35° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 600 mmt = 10 mmp = 2.5 MPaα = 35°
σn = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 2 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。スパン中央に集中荷重 P が作用する。EI は一定である。 固定端における曲げモーメントの大きさ MA を求めよ。
L = 6 mP = 55 kN 位置 3 m
MA = kN·m
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 291 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 10·1000/490.9 = 20.37 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 20.37/70000 = 0.000291 = 291 µε
答え
ε = 291 µε
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 223.8 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 35.81 MPa
σ2 = 223.8 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 223.8 MPa
答え
σmax = 223.8 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 4.274 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(80000·251327) = 0.0746 rad
φ = 0.0746·180/π = 4.274°
答え
φ = 4.274°
4.軸のねじり
答え: d = 13.93 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 5000/188.5 = 26.53 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·26526/(π·50)) = 13.93 mm
答え
d = 13.93 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: C (x = 2 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 37.5 kN, R2 = 25.5 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 37.5, MC = 75 kN·m, MD = 64.5, ME = 48, MF = 25.5, MG = 0
答え
点 C: MC = 75 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 44.68 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·9.5 = 57 kN、作用点 x̄ = 4.75 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·9.5·4.75
RB = 270.8/8 = 33.84 kN
ΣFy = 0: RA = 57 − 33.84 = 23.16 kN
せん断力 0 の位置
RA − w·x0 = 0 → x0 = 23.16/6 = 3.859 m
最大の正の曲げモーメント
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 23.16²/(2·6) = 44.68 kN·m
答え
Mmax = 44.68 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 12.17 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
長方形に分割
底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。
基剤: A1 = 300·20 = 6000 mm², y1 = 10 mm
2 本の脚: A2 = 2·20·100 = 4000 mm², y2 = 20 + 100/2 = 70 mm
図心
ȳ = (6000·10 + 4000·70)/10000 = 34 mm
平行軸の定理
基剤: 300·20³/12 + 6000·(10 − 34)² = 3.656 × 10⁶ mm⁴
2 本の脚: 2·20·100³/12 + 4000·(70 − 34)² = 8.517 × 10⁶ mm⁴
Ix = 3.656 × 10⁶ + 8.517 × 10⁶
Ix = 1.217 × 10⁷ mm⁴ = 12.17 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 12.17 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 82.99 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
3 つの長方形に分割
y はすべて下端から測ります。
上フランジ: A = 2000 mm², y = 247 mm
ウェブ: A = 2760 mm², y = 127 mm
下フランジ: A = 3000 mm², y = 6 mm
図心
ȳ = (2000·247 + 2760·127 + 3000·6)/7760 = 111.1 mm
平行軸の定理
上フランジ: 200·10³/12 + 2000·135.9² = 3.693 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 12·230³/12 + 2760·15.85² = 1.286 × 10⁷ mm⁴
下フランジ: 250·12³/12 + 3000·105.1² = 3.321 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.693 × 10⁷ + 1.286 × 10⁷ + 3.321 × 10⁷
Ix = 8.299 × 10⁷ mm⁴ = 82.99 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 82.99 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 47.71 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 65 MPa, R = √(5² + 30²) = 30.41 MPa
σ1 = 95.41 MPa, σ2 = 34.59 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(60.83, 95.41, 34.59)/2 = 47.71 MPa
答え
τabs = 47.71 MPa
ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 62.66 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 2.5·300/10 = 75 MPa
σa = pr/(2t) = 37.5 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 37.5·sin²35° + 75·cos²35° = 62.66 MPa
答え
σn = 62.66 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 6.782 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 5000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 6.782 mm
答え
δmax = 6.782 mm
12.はりのたわみ
答え: MA = 61.88 kN·m
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·55/16 = 17.19 kN
固定端のモーメント
荷重と支点 B の反力による A まわりのモーメント。
MA = P·L/2 − RB·L = 165 − 103.1 = 61.88 kN·m
答え
MA = 61.88 kN·m
13.柱の座屈
答え: Pcr = 4.922 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4200² = 4922 N = 4.922 kN
答え
Pcr = 4.922 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 4.318 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·3000 = 6000 mm
KL/r = 6000/15 = 400
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa
答え
σcr = 4.318 MPa
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