軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 120 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 500 mm で、剛な板の間で 100 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 100 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa、許容応力 200 MPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 70 mm、E = 110 GPa、許容応力 100 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
長さ 1 m の鋼製の中実軸がトルク 200 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 0.5° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 200 N·mL = 1 mG = 80 GPaφallow = 0.5°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 750 rpm で 50 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 50 kWN = 750 rpmdo = 40 mmdi = 30 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
20 kN @ 6 m5 kN/m, 0–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 8 mw = 10 kN/m（0 から 8 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 6 m
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 220 mmtf = 10 mmtw = 16 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 5 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。
bf = 260 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 100 mmM = 5 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −70 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = 60 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = −70 MPaσy = 90 MPaτxy = 60 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 30 mm の中実軸が軸圧縮力 120 kNとトルク 250 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 30 mmF = −120 kNT = 250 N·m
σ1 = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 5 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 固定端における曲げモーメントの大きさ MA を求めよ。
L = 6 mw = 5 kN/m
MA = kN·m
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.05895 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·5890 = 8.482 × 10⁸ N
縮み
δ = 100000·500/8.482 × 10⁸ = 0.05895 mm
答え
δ = 0.05895 mm
2.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 489.8 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·4006 = 5.388 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.001, 0.0009091) = 0.0009091 (青銅)
最大荷重
Pmax = 0.0009091·5.388 × 10⁸ = 489803 N = 489.8 kN
答え
Pmax = 489.8 kN
3.軸のねじり
答え: d = 41.33 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·1000/(80000·0.008727) = 286479 mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 41.33 mm
答え
d = 41.33 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: τmax = 74.11 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 50000/78.54 = 636.6 N·m
断面二次極モーメント
J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 636620·20/171806 = 74.11 MPa
答え
τmax = 74.11 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: D (x = 6 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 36.67 kN, R2 = 23.33 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 63.33, MC = 106.7, MD = 130 kN·m, ME = 93.33, MF = 46.67, MG = 0
答え
点 D: MD = 130 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 35.56 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·8·4
RB = 320/6 = 53.33 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 53.33 = 26.67 kN
せん断力 0 の位置
RA − w·x0 = 0 → x0 = 26.67/10 = 2.667 m
最大の正の曲げモーメント
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 26.67²/(2·10) = 35.56 kN·m
答え
Mmax = 35.56 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 25.06 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 220·10 = 2200 mm², yf = 200 + 10/2 = 205 mm
ウェブ: Aw = 16·200 = 3200 mm², yw = 200/2 = 100 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2200·205 + 3200·100)/5400 = 142.8 mm
平行軸の定理
フランジ: 220·10³/12 + 2200·(205 − 142.8)² = 8.536 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 16·200³/12 + 3200·(100 − 142.8)² = 1.652 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8.536 × 10⁶ + 1.652 × 10⁷ = 2.506 × 10⁷ mm⁴ = 25.06 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 25.06 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ上端 = 17.31 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 260·30 = 7800 mm², yf = 100 + 30/2 = 115 mm
ウェブ: Aw = 16·100 = 1600 mm², yw = 100/2 = 50 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7800·115 + 1600·50)/9400 = 103.9 mm
平行軸の定理
フランジ: 260·30³/12 + 7800·(115 − 103.9)² = 1.54 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 16·100³/12 + 1600·(50 − 103.9)² = 5.988 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.54 × 10⁶ + 5.988 × 10⁶ = 7.528 × 10⁶ mm⁴
曲げ応力
上端は軸から h − ȳ の位置にあります。
y = 130 − 103.9 = 26.06 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·26.06/7.528 × 10⁶ = 17.31 MPa
答え
σ上端 = 17.31 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 71.57 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·60, −70 − 90) = 143.1°
要素上の角度
θp = 71.57°
答え
θp = 71.57°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 12.22 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = F/A = −120000/(π·30²/4) = −120000/706.9 = −169.8 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·30³) = 47.16 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = −84.88 MPa
R = √((−84.88)² + 47.16²) = 97.1 MPa
σ1 = C + R = 12.22 MPa
σ2 = C − R = −182 MPa
答え
σ1 = 12.22 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 1.751 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 5 N/mm, L = 2000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 1.751 mm
答え
δmax = 1.751 mm
12.はりのたわみ
答え: MA = 22.5 kN·m
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = wL⁴/(8EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·6/8 = 11.25 kN
固定端のモーメント
荷重と支点 B の反力による A まわりのモーメント。
MA = wL²/2 − RB·L = 90 − 67.5 = 22.5 kN·m
答え
MA = 22.5 kN·m
13.柱の座屈
答え: Pcr = 151.4 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·1000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151.4 kN
答え
Pcr = 151.4 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 26.99 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/12.5 = 160
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26.99 MPa
答え
σcr = 26.99 MPa
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