材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
200 kNØ20100 GPaØ100/60400 mmδ = ?

鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、黄銅 でできた管（外径 100 mm、内径 60 mm、E = 100 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 200 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。

P = 200 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø20110 GPaØ80/60400 mm

鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 250 MPa）が、青銅 でできた管（外径 80 mm、内径 60 mm、E = 110 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
T = 500 N·md = 25 mmL = 1 mφ = ?

鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 500 N·md = 25 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
Tdo​ = 50 mm, di​ = 40 mm

中空軸が 1800 rpm で 30 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

P = 30 kWN = 1800 rpmdo = 50 mmdi = 40 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 65 kNP2​ = 25 kNAB1 m1.5 m2.5 m

単純ばりに 2 つの集中荷重が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 5 mP1 = 65 kN 位置 1 mP2 = 25 kN 位置 2.5 m
Mmax = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
6 kN/m60 kN40 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

60 kN @ 0 m40 kN @ 6 m45 kN @ 3 m6 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
120 mm240 mm84 mmØ30xIx​ = ?

120 mm × 240 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 30 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 84 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 120 mmh = 240 mmd = 30 mm穴の中心: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
120 mm300 mm180 mm30 × 50xIx​ = ?

120 mm × 300 mm の板に、幅 30 mm、高さ 50 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 180 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 120 mmh = 300 mm切り欠き: 30 × 50 mm穴の中心: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 30σy​ = 90τxy​ = 40MPa

ある点で σₓ = 30 MPa、σᵧ = 90 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σx = 30 MPaσy = 90 MPaτxy = 40 MPa
θs = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 30σy​ = −50τxy​ = 50MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 30 MPa、σᵧ = −50 MPa、τₓᵧ = 50 MPa（σz = 0）。 ミーゼス相当応力 σvM を求めよ。

σx = 30 MPaσy = −50 MPaτxy = 50 MPa
σvM = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 5 kN/mδL = 6 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 5 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 5 kN/mδL = 2.5 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 5 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
PL = 1 md = 60 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 65 kNL = 2.5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 2 で 65 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 65 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.1415 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·5027 = 5.655 × 10⁸ N

縮み

δ = 200000·400/5.655 × 10⁸ = 0.1415 mm

答え

δ = 0.1415 mm
2.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 166.2 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·2199 = 3.047 × 10⁸ N

支配するひずみ

ε = min(0.00125, 0.0005455) = 0.0005455 (青銅)

最大荷重

Pmax = 0.0005455·3.047 × 10⁸ = 166219 N = 166.2 kN

答え

Pmax = 166.2 kN
3.軸のねじり

答え: φ = 9.338 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

ねじれ角

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(80000·38350) = 0.163 rad
φ = 0.163·180/π = 9.338°

答え

φ = 9.338°
4.軸のねじり

答え: τmax = 10.98 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 30000/188.5 = 159.2 N·m

断面二次極モーメント

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

最大せん断応力

τmax = T·(do/2)/J = 159155·25/362265 = 10.98 MPa

答え

τmax = 10.98 MPa
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 64.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

ΣMA = 0: RB·5 = 65·1 + 25·2.5
RB = 127.5/5 = 25.5 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 25.5 = 64.5 kN

各荷重位置のモーメント

各荷重より左側の部分を残します。

荷重点 P1: M = RA·1 = 64.5·1 = 64.5 kN·m
荷重点 P2: M = RB·2.5 = 25.5·2.5 = 63.75 kN·m

最大値

Mmax = 64.5 kN·m (荷重点 P1)

答え

Mmax = 64.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 77.33 kN, R2 = 85.67 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −60, MC = −45.67, MD = −37.33, ME = −80 kN·m, MF = −40, MG = 0

答え

点 E: ME = −80 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 137.3 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (28800·120 − 706.9·84)/(28800 − 706.9) = 120.9 mm

ȳ まわりの全体の板

120·240³/12 + 28800·−0.9058² = 138.3 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·30⁴/64 + 706.9·−36.91² = 1.003 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 137.3 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 137.3 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 268.3 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (36000·150 − 1500·180)/(36000 − 1500) = 148.7 mm

ȳ まわりの全体の板

120·300³/12 + 36000·1.304² = 270.1 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

30·50³/12 + 1500·31.3² = 1.782 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 268.3 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 268.3 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θs = 18.43 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

円上の角度

モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。

cos 2θs = 40/50 = 0.8, sin 2θs = −(−30)/50 = 0.6
2θs = atan2(30, 40) = 36.87°

要素上の角度

θs = 18.43°
確認: θs − θp = 18.43 − 63.43 = −45°

答え

θs = 18.43°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σvM = 111.4 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = −10 MPa, R = 64.03 MPa
σ1 = 54.03 MPa, σ2 = −74.03 MPa, σ3 = 0

ミーゼス

σvM = √(54.03² − 54.03·(−74.03) + (−74.03)²) = 111.4 MPa

答え

σvM = 111.4 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 33.48 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 6000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 33.48 mm

答え

δmax = 33.48 mm
12.はりのたわみ

答え: Ireq = 1.831 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·2500⁴/(384·200000·6.944) = 1.831 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1.831 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 1.831 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈

答え: Pcr = 313.9 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·1000 = 2000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313.9 kN

答え

Pcr = 313.9 kN
14.柱の座屈

答え: d = 38.05 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·65000 = 130000 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 38.05 mm

答え

d = 38.05 mm

確認：細長比 KL/r は 131.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials