軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 70 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 800 mm で、剛な板の間で 100 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 100 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa、許容応力 150 MPa）が、黄銅 でできた管（外径 80 mm、内径 50 mm、E = 100 GPa、許容応力 60 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。
棒: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 750 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 3000 rpm で 100 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 100 kWN = 3000 rpmdo = 60 mmdi = 45 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mw = 4 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 4 mw = 4 kN/m（1 から 3 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 260 mm の底板と、全高 140 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 10 mm である。 下端から図心までの高さ ȳ を求めよ。
b = 260 mmh = 140 mmt = 10 mm
ȳ = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 20 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。
bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 120 mmM = 20 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 130 MPa、σᵧ = −50 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 130 MPaσy = −50 MPaτxy = −20 MPa
θs = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −10 MPa、σᵧ = −50 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 300 MPa である。ミーゼス（せん断ひずみエネルギー）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。
σx = −10 MPaσy = −50 MPaτxy = 30 MPaσY = 300 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。
w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2.5 で 25 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 25 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.1485 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·4006 = 5.388 × 10⁸ N
縮み
δ = 100000·800/5.388 × 10⁸ = 0.1485 mm
答え
δ = 0.1485 mm
2.軸応力とひずみ
答え: Pmax = 221.5 kN
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·3063 = 3.691 × 10⁸ N
支配するひずみ
ε = min(0.00075, 0.0006) = 0.0006 (黄銅)
最大荷重
Pmax = 0.0006·3.691 × 10⁸ = 221482 N = 221.5 kN
答え
Pmax = 221.5 kN
3.軸のねじり
答え: φ = 5.404 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(80000·79522) = 0.09431 rad
φ = 0.09431·180/π = 5.404°
答え
φ = 5.404°
4.軸のねじり
答え: τmax = 10.98 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 100000/314.2 = 318.3 N·m
断面二次極モーメント
J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 318310·30/869767 = 10.98 MPa
答え
τmax = 10.98 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 7.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 4·4·2
RB = 32/4 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN
x = 2.5 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 8·2.5 − 4·2.5·1.25 = 7.5 kN·m
答え
Mx = 7.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 6 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 4·2·2
RB = 16/4 = 4 kN
ΣFy = 0: RA = 8 − 4 = 4 kN
せん断力 0 の位置
せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。
RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 4/4 = 2 m
最大モーメント
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 4·2 − 4·1²/2 = 6 kN·m
答え
Mmax = 6 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: ȳ = 40 mm
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
長方形に分割
底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。
基剤: A1 = 260·10 = 2600 mm², y1 = 5 mm
2 本の脚: A2 = 2·10·130 = 2600 mm², y2 = 10 + 130/2 = 75 mm
図心
ȳ = (2600·5 + 2600·75)/5200 = 40 mm
答え
ȳ = 40 mm
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ上端 = 123.5 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 100·25 = 2500 mm², yf = 120 + 25/2 = 132.5 mm
ウェブ: Aw = 10·120 = 1200 mm², yw = 120/2 = 60 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2500·132.5 + 1200·60)/3700 = 109 mm
平行軸の定理
フランジ: 100·25³/12 + 2500·(132.5 − 109)² = 1.512 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 10·120³/12 + 1200·(60 − 109)² = 4.32 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.512 × 10⁶ + 4.32 × 10⁶ = 5.832 × 10⁶ mm⁴
曲げ応力
上端は軸から h − ȳ の位置にあります。
y = 145 − 109 = 36.01 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·36.01/5.832 × 10⁶ = 123.5 MPa
答え
σ上端 = 123.5 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θs = −51.26 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。
cos 2θs = −20/92.2 = −0.2169, sin 2θs = −90/92.2 = −0.9762
2θs = atan2(−90, −20) = −102.5°
要素上の角度
θs = −51.26°
確認: θs − θp = −51.26 − (−6.264) = −45°
答え
θs = −51.26°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: n = 4.33
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。
主応力
C = −30 MPa, R = 36.06 MPa
σ1 = 6.056 MPa, σ2 = −66.06 MPa, σ3 = 0
ミーゼス
σvM = √(6.056² − 6.056·(−66.06) + (−66.06)²) = 69.28 MPa
n = 300/69.28 = 4.33
答え
n = 4.33
n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。
11.はりのたわみ
答え: δ = 12.21 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 5 N/mm, L = 5000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²
たわみ
δ = wL⁴/(8EI) = 5·5000⁴/(8·3.2 × 10¹³) = 12.21 mm
答え
δ = 12.21 mm
12.はりのたわみ
答え: Ireq = 18 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·4000⁴/(384·200000·11.11) = 1.8 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 18 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 18 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈
答え: Pcr = 25.63 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1750² = 25628 N = 25.63 kN
答え
Pcr = 25.63 kN
14.柱の座屈
答え: d = 69.42 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·25000 = 62500 N
KL = 2·3000 = 6000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 69.42 mm
答え
d = 69.42 mm
確認：細長比 KL/r は 345.7 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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