軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 30 mm、E = 200 GPa）が、黄銅 でできた管（外径 80 mm、内径 50 mm、E = 100 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 800 mm で、剛な板の間で 200 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 200 kN棒: Ø30 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 25 kN区間 1：Ø35 mm、0.5 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 1000 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.8 倍とし、せん断応力は 50 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 1000 N·mdi/do = 0.8τallow = 50 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
鋼製の中実軸が 1450 rpm で 15 kW を伝達する。せん断応力は 50 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 0.25° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 15 kWN = 1450 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0.25°/mG = 80 GPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 2 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 2 mP = 40 kN 位置 2 mw = 12 kN/m（0 から 2 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 A から支点間の反曲点（曲げモーメントの符号が変わる点）までの距離 xc を求めよ。
L = 8.5 mw = 6 kN/m（0 から 8.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 6 m
xc = m
7.図心と断面二次モーメントふつう
200 mm × 150 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 30 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 52.5 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 200 mmh = 150 mmd = 30 mm穴の中心: y = 52.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 25 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。
bf = 180 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 260 mmM = 25 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −80 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = 50 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = −80 MPaσy = −60 MPaτxy = 50 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 150 MPa、σᵧ = −40 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から時計回りに 30° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 150 MPaσy = −40 MPaτxy = −20 MPaθ = -30°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 18 kNa = 1 mL = 3 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。
w = 2 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 4 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.3574 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·3063 = 4.477 × 10⁸ N
縮み
δ = 200000·800/4.477 × 10⁸ = 0.3574 mm
答え
δ = 0.3574 mm
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 2.899 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 25.98 MPa
σ2 = 221 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 25.98·500/200000 = 0.06496 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 221·1500/117000 = 2.834 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.899 mm
答え
δ = 2.899 mm
3.軸のねじり
答え: do = 55.67 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·50·0.5904)) = 55.67 mm
di = 0.8·55.67 = 44.54 mm
答え
do = 55.67 mm
中実軸なら d = 46.7 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: d = 41.2 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 15000/151.8 = 98.79 N·m
強度から決まる直径
T = 98.79 N·m = 98786 N·mm
dτ = ∛(16·98786/(π·50)) = 21.59 mm
剛性から決まる直径
θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·98786/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))1/4 = 41.2 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(21.59, 41.2) = 41.2 mm
答え
d = 41.2 mm
ここでは剛性で決まります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = −73.5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
自由端側を残す
P: −40·1.5 = −60 kN·m
w: −12·1.5²/2 = −13.5 kN·m
Mx = −60 − 13.5 = −73.5 kN·m
答え
Mx = −73.5 kN·m
負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。
6.せん断力と曲げモーメント
答え: xc = 4.958 m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·8.5 = 51 kN、作用点 x̄ = 4.25 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·8.5·4.25
RB = 216.8/6 = 36.13 kN
ΣFy = 0: RA = 51 − 36.13 = 14.88 kN
モーメント 0 の位置
支点間では M(x) = RA·x − w·x²/2。x = 0 を除くと、x = 2RA/w で 0 になります。
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·14.88/6 = 4.958 m
答え
xc = 4.958 m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 55.84 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (30000·75 − 706.9·52.5)/(30000 − 706.9) = 75.54 mm
ȳ まわりの全体の板
200·150³/12 + 30000·−0.5429² = 56.26 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·30⁴/64 + 706.9·−23.04² = 0.4151 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 55.84 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 55.84 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ上端 = 28.3 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 180·25 = 4500 mm², yf = 260 + 25/2 = 272.5 mm
ウェブ: Aw = 20·260 = 5200 mm², yw = 260/2 = 130 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·272.5 + 5200·130)/9700 = 196.1 mm
平行軸の定理
フランジ: 180·25³/12 + 4500·(272.5 − 196.1)² = 2.65 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 20·260³/12 + 5200·(130 − 196.1)² = 5.202 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.65 × 10⁷ + 5.202 × 10⁷ = 7.851 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
上端は軸から h − ȳ の位置にあります。
y = 285 − 196.1 = 88.89 mm
σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·88.89/7.851 × 10⁷ = 28.3 MPa
答え
σ上端 = 28.3 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 50.65 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·50, −80 − −60) = 101.3°
要素上の角度
θp = 50.65°
答え
θp = 50.65°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 119.8 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 55 + 95·0.5 + −20·−0.866 = 119.8 MPa
答え
σθ = 119.8 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 20.2 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 18000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 18000·1000²·2000²/(3·3.96 × 10¹¹·3000) = 20.2 mm
答え
δP = 20.2 mm
12.はりのたわみ
答え: Ireq = 28.93 × 10⁶ mm⁴
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
たわみの制限
δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm
必要な断面二次モーメント
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·6000⁴/(384·70000·16.67) = 2.893 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 28.93 × 10⁶ mm⁴
答え
Ireq = 28.93 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈
答え: Pcr = 107.9 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·2000 = 2000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/2000² = 107949 N = 107.9 kN
答え
Pcr = 107.9 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 6.94 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/7.5 = 533.3
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533.3² = 6.94 MPa
答え
σcr = 6.94 MPa
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