材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 20 mm銅1.5 mP = 95 kN

軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 95 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 30 mm鋼1.5 mØ 16 mmアルミニウム1 mP = 50 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。

P = 50 kN区間 1：Ø30 mm、1.5 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø16 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
d = ?T = 200 N·mL = 2 m

長さ 2 m の鋼製の中実軸がトルク 200 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 2° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。

T = 200 N·mL = 2 mG = 80 GPaφallow = 2°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
Tdo​ = 100 mm, di​ = 80 mm

中空軸が 300 rpm で 100 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

P = 100 kWN = 300 rpmdo = 100 mmdi = 80 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
8 kN/m55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

55 kN @ 6 m8 kN/m, 4–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 6 kN/mP = 50 kNAB断面2 m4 m2 m

支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 8 mP = 50 kN 位置 6 mw = 6 kN/m（0 から 8 m まで）x = 2 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
2801528014x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 280 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
1201024012xM = 50 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 50 kN·m を受ける。 下端の曲げ応力 σ下端 を求めよ。

bf = 120 mmtf = 10 mmtw = 12 mmhw = 240 mmM = 50 kN·m
σ下端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −10σy​ = 40τxy​ = 30MPa

ある点で σₓ = −10 MPa、σᵧ = 40 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。要素を反時計回りに 35°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。

σx = −10 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPaθ = 35°
σy′ = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​τxy​軸の表面

直径 30 mm の中実軸が軸引張力 200 kNとトルク 1000 N·m を同時に受ける。 軸の表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。

d = 30 mmF = 200 kNT = 1000 N·m
σ1 = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 2 kN/mδL = 8 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 2 kN/mABδ4.5 m

幅 150 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。

w = 2 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 150 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 5 m30 × 50 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 1 md = 40 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 3.877 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 95·1000/314.2 = 302.4 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 302.4/117000 = 0.002585 = 2585 µε

伸び

δ = ε·L = 0.002585·1500 mm = 3.877 mm

答え

δ = 3.877 mm
2.軸応力とひずみ

答え: δ = 4.083 mm

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 70.74 MPa
σ2 = 248.7 MPa

各区間の伸びを足す

δ1 = σ1L1/E1 = 70.74·1500/200000 = 0.5305 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 248.7·1000/70000 = 3.553 mm
δ = δ1 + δ2 = 4.083 mm

答え

δ = 4.083 mm
3.軸のねじり

答え: d = 34.75 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

必要な断面二次極モーメント

T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 2·π/180 = 0.03491 rad
J = TL/(Gφ) = 200000·2000/(80000·0.03491) = 143239 mm⁴

直径

d = (32J/π)1/4 = 34.75 mm

答え

d = 34.75 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

4.軸のねじり

答え: τmax = 27.46 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 100000/31.42 = 3183 N·m

断面二次極モーメント

J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5.796 × 10⁶ mm⁴

最大せん断応力

τmax = T·(do/2)/J = 3.183 × 10⁶·50/5.796 × 10⁶ = 27.46 MPa

答え

τmax = 27.46 MPa
5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 48.83 kN, R2 = 70.17 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 97.67, MC = 195.3, MD = 277 kN·m, ME = 216.7, MF = 124.3, MG = 0

答え

点 D: MD = 277 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 61 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN、作用点 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·6 + 6·8·4
RB = 492/8 = 61.5 kN
ΣFy = 0: RA = 98 − 61.5 = 36.5 kN
w = 6 kN/mP = 50 kNABRA​ = 36.5RB​ = 61.5断面2 m4 m2 m

x = 2 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 36.5·2 − 6·2·1 = 61 kN·m

答え

Mx = 61 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 69.8 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 280·15 = 4200 mm², yf = 280 + 15/2 = 287.5 mm
ウェブ: Aw = 14·280 = 3920 mm², yw = 280/2 = 140 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4200·287.5 + 3920·140)/8120 = 216.3 mm

平行軸の定理

フランジ: 280·15³/12 + 4200·(287.5 − 216.3)² = 2.137 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 14·280³/12 + 3920·(140 − 216.3)² = 4.843 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.137 × 10⁷ + 4.843 × 10⁷ = 6.98 × 10⁷ mm⁴ = 69.8 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 69.8 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: σ下端 = 289.6 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 120·10 = 1200 mm², yf = 240 + 10/2 = 245 mm
ウェブ: Aw = 12·240 = 2880 mm², yw = 240/2 = 120 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1200·245 + 2880·120)/4080 = 156.8 mm

平行軸の定理

フランジ: 120·10³/12 + 1200·(245 − 156.8)² = 9.353 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 12·240³/12 + 2880·(120 − 156.8)² = 1.772 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9.353 × 10⁶ + 1.772 × 10⁷ = 2.707 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 156.8 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·156.8/2.707 × 10⁷ = 289.6 MPa

答え

σ下端 = 289.6 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σy′ = −4.64 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

y′ 面の座標変換の式

σy′ = 15 − (−25)·0.342 − 30·0.9397 = −4.64 MPa

確認

垂直応力の和は回転しても変わりません。

σx′ = 34.64 MPa, σx′ + σy′ = 30 = σx + σy

答え

σy′ = −4.64 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σ1 = 377.3 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

表面の応力

σ = F/A = 200000/(π·30²/4) = 200000/706.9 = 282.9 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·30³) = 188.6 MPa
στxyCσ1​σ2​

モールの応力円

C = σ/2 = 141.5 MPa
R = √(141.5² + 188.6²) = 235.8 MPa
σ1 = C + R = 377.3 MPa
σ2 = C − R = −94.31 MPa

答え

σ1 = 377.3 MPa
11.はりのたわみ

答え: δ = 32 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 8000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 2·8000⁴/(8·3.2 × 10¹³) = 32 mm

答え

δ = 32 mm
12.はりのたわみ

答え: hreq = 183.8 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δallow = L/360 = 4500/360 = 12.5 mm

必要な断面二次モーメント

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·4500⁴/(384·11000·12.5) = 7.766 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = Ireq → h = (12·7.766 × 10⁷/150)1/3 = 183.8 mm

答え

hreq = 183.8 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

13.柱の座屈

答え: Pcr = 8.883 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·5000 = 5000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/5000² = 8883 N = 8.883 kN

答え

Pcr = 8.883 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 69.09 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/10 = 100

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

答え

σcr = 69.09 MPa

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