材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力: σ = F/A
ひずみ: ε = ΔL/L
フックの法則: σ = E·ε
伸び: ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ: ε_T = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力: τ = T·r/J
中実軸: J = πd⁴/32
中空軸: J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角: φ = TL/(GJ)
電力: P = T·ω = 2πnT/60

解き方

断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心: C = (σ_x + σ_y)/2
半径: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
主応力: σ_1,2 = C ± R
主応力の方向: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
斜め断面: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

解き方

モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう

軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 30 kNd = 16 mmL = 0.5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.軸応力とひずみむずかしい

鋼の区間（直径 30 mm、長さ 600 mm、E = 200 GPa）と、銅でできた区間（直径 30 mm、長さ 400 mm、E = 120 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 60 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ₂ を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa区間 2: 銅, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.軸のねじりふつう

アルミニウム製の中空軸（外径 75 mm、内径 56 mm、長さ 0.5 m）が一端で固定され、他端でトルク 1500 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。

T = 1500 N·md_o = 75 mmd_i = 56 mmL = 0.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.軸のねじりむずかしい

中空軸が 1000 rpm で 75 kW を伝達しなければならない。内径は外径の 0.5 倍とし、せん断応力は 75 MPa を超えてはならない。最小の外径 d_o を求めよ。

P = 75 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0.5τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 6.5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 5 kN/m（0 から 10 m まで）x = 6.5 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mP = 40 kN 位置 1 mw = 6 kN/m（0 から 4 m まで）x = 1 m

M_x = kN·m

7.図心と断面二次モーメントふつう

120 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 70 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 120 mmh = 200 mmd = 60 mm穴の中心: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメントむずかしい

溶接 I 形断面は、上フランジ 190 × 20 mm、高さ 360 mm・厚さ 12 mm のウェブ、下フランジ 290 × 12 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

上フランジ: 190 × 20 mmウェブ: 12 × 360 mm下フランジ: 290 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 120 MPa、σᵧ = −10 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θ_p を、−90° から 90° の範囲で求めよ。

σ_x = 120 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 0 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = −10 MPa（σ_z = 0）。材料の降伏強さは 300 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σ_x = 0 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δ_max を求めよ。

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.はりのたわみむずかしい

幅 75 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ h_req を求めよ。

w = 1.5 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 75 mm

h_req = mm

13.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm

P_cr = kN

14.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.6376 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 30·1000/201.1 = 149.2 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 149.2/117000 = 0.001275 = 1275 µε

伸び

δ = ε·L = 0.001275·500 mm = 0.6376 mm

答え

δ = 0.6376 mm

2.軸応力とひずみ

答え: σ₂ = 40.21 MPa

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、P_i = P·E_iA_i/ΣEA、σ_i = E_i·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

剛性

k₁ = 200000·706.9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 120000·706.9/400 = 212058 N/mm

区間 2 の分担

F₂ = 60000·212058/447677 = 28421 N

応力

σ₂ = 28421/706.9 = 40.21 MPa （圧縮）

答え

σ₂ = 40.21 MPa

3.軸のねじり

答え: φ = 0.772 °

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τ_max = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメント

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2.141 × 10⁶ mm⁴

ねじれ角

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm

L = 0.5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1.5 × 10⁶·500/(26000·2.141 × 10⁶) = 0.01347 rad

φ = 0.01347·180/π = 0.772°

答え

φ = 0.772°

4.軸のねじり

答え: d_o = 37.3 mm

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m

許容応力からの外径

T = 716.2 N·m = 716197 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·716197/(π·75·0.9375)) = 37.3 mm

d_i = 0.5·37.3 = 18.65 mm

答え

d_o = 37.3 mm

中実軸なら d = 36.5 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 56.88 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

x = 6.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 25·6.5 − 5·6.5·3.25 = 56.88 kN·m

答え

M_x = 56.88 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 39 kN·m

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN、作用点 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1 + 6·4·2

R_B = 88/4 = 22 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 22 = 42 kN

x = 1 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 42·1 − 6·1·0.5 = 39 kN·m

答え

M_x = 39 kN·m

7.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 76.48 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (24000·100 − 2827·70)/(24000 − 2827) = 104 mm

ȳ まわりの全体の板

120·200³/12 + 24000·−4.006² = 80.39 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·60⁴/64 + 2827·−34.01² = 3.906 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 76.48 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 76.48 × 10⁶ mm⁴

8.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 303.9 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 3800 mm², y = 382 mm

ウェブ: A = 4320 mm², y = 192 mm

下フランジ: A = 3480 mm², y = 6 mm

図心

ȳ = (3800·382 + 4320·192 + 3480·6)/11600 = 198.4 mm

平行軸の定理

上フランジ: 190·20³/12 + 3800·183.6² = 1.282 × 10⁸ mm⁴

ウェブ: 12·360³/12 + 4320·6.441² = 4.684 × 10⁷ mm⁴

下フランジ: 290·12³/12 + 3480·192.4² = 1.289 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1.282 × 10⁸ + 4.684 × 10⁷ + 1.289 × 10⁸

I_x = 3.039 × 10⁸ mm⁴ = 303.9 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 303.9 × 10⁶ mm⁴

9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θ_p = 15.8 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

円上の角度

モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。

2θ_p = atan2(2·40, 120 − −10) = 31.61°

要素上の角度

θ_p = 15.8°

答え

θ_p = 15.8°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 13.42

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σ_Y に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σ_Y/2 に達したときに降伏すると予測します。

主応力

C = 5 MPa, R = 11.18 MPa

σ₁ = 16.18 MPa, σ₂ = −6.18 MPa, σ₃ = 0

トレスカ

σ_max − σ_min = 22.36 MPa

n = 300/22.36 = 13.42

答え

n = 13.42

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

11.はりのたわみ

答え: δ_max = 5.013 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 5.013 mm

答え

δ_max = 5.013 mm

12.はりのたわみ

答え: h_req = 210.4 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 1.5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12.5 mm

必要な断面二次モーメント

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1.5·4500⁴/(384·11000·12.5) = 5.825 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = I_req → h = (12·5.825 × 10⁷/75)^1/3 = 210.4 mm

答え

h_req = 210.4 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

13.柱の座屈

答え: P_cr = 2.412 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·6000 = 6000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/6000² = 2412 N = 2.412 kN

答え

P_cr = 2.412 kN

14.柱の座屈

答え: σ_cr = 71.06 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/7.5 = 166.7

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/166.7² = 71.06 MPa

答え

σ_cr = 71.06 MPa

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