軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、アルミニウム でできた管（外径 120 mm、内径 70 mm、E = 70 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 600 mm で、剛な板の間で 100 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 100 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 20 mm、長さ 500 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 70 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 50 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
黄銅製の中空軸（外径 40 mm、内径 24 mm、長さ 1.5 m）が一端で固定され、他端でトルク 1500 N·m によりねじられる。ねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 1500 N·mdo = 40 mmdi = 24 mmL = 1.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
直径 60 mm のアルミニウム製の中実軸が A で固定されている。A から 1.5 m の B にトルク 1500 N·m が作用し、さらに 2.5 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 250 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
d = 60 mmTB = 1500 N·mTC = 250 N·mAB = 1.5 mBC = 2.5 m
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 6 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 10 mw = 6 kN/m（0 から 10 m まで）x = 6 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
20 kN @ 0 m45 kN @ 12 m40 kN @ 6 m10 kN/m, 2–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 160 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
溶接 I 形断面は、上フランジ 110 × 12 mm、高さ 250 mm・厚さ 16 mm のウェブ、下フランジ 190 × 20 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
上フランジ: 110 × 12 mmウェブ: 16 × 250 mm下フランジ: 190 × 20 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = 90 MPa、σᵧ = −50 MPa である。最大主応力が 115 MPa に達するまでに、せん断応力 τxy（大きさ）はどこまで大きくなれるか。
σx = 90 MPaσy = −50 MPaσ1 = 115 MPa
τxy = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 140 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = −30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 60° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 140 MPaσy = −20 MPaτxy = −30 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの支点 A から a = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。
P = 11 kNa = 1 mL = 8 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 固定端における曲げモーメントの大きさ MA を求めよ。
L = 6 mw = 10 kN/m
MA = kN·m
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 130 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 130 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.0967 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·7461 = 6.205 × 10⁸ N
縮み
δ = 100000·600/6.205 × 10⁸ = 0.0967 mm
答え
δ = 0.0967 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 25.32 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·314.2/500 = 125664 N/mm
k₂ = 70000·1257/400 = 219911 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 50000·219911/345575 = 31818 N
応力
σ2 = 31818/1257 = 25.32 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 25.32 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 15.11 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴
ねじれ角
T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1.5 × 10⁶·1500/(39000·218755) = 0.2637 rad
φ = 0.2637·180/π = 15.11°
答え
φ = 15.11°
4.軸のねじり
答え: τmax = 29.47 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC − TB = 250 − 1500 = −1250 N·m
最大せん断応力
内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。
|T|max = 1250 N·m
τmax = 16·1.25 × 10⁶/(π·60³) = 29.47 MPa
答え
τmax = 29.47 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 72 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 6·10·5
RB = 300/10 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
x = 6 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 30·6 − 6·6·3 = 72 kN·m
答え
Mx = 72 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: E (x = 8 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 40 kN, R2 = 125 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = −40, MC = −20, MD = −40, ME = −180 kN·m, MF = −90, MG = 0
答え
点 E: ME = −180 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 21.9 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 160·15 = 2400 mm², yf = 180 + 15/2 = 187.5 mm
ウェブ: Aw = 18·180 = 3240 mm², yw = 180/2 = 90 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·187.5 + 3240·90)/5640 = 131.5 mm
平行軸の定理
フランジ: 160·15³/12 + 2400·(187.5 − 131.5)² = 7.574 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 18·180³/12 + 3240·(90 − 131.5)² = 1.433 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.574 × 10⁶ + 1.433 × 10⁷ = 2.19 × 10⁷ mm⁴ = 21.9 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 21.9 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 100.2 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
3 つの長方形に分割
y はすべて下端から測ります。
上フランジ: A = 1320 mm², y = 276 mm
ウェブ: A = 4000 mm², y = 145 mm
下フランジ: A = 3800 mm², y = 10 mm
図心
ȳ = (1320·276 + 4000·145 + 3800·10)/9120 = 107.7 mm
平行軸の定理
上フランジ: 110·12³/12 + 1320·168.3² = 3.74 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 16·250³/12 + 4000·37.29² = 2.64 × 10⁷ mm⁴
下フランジ: 190·20³/12 + 3800·97.71² = 3.641 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.74 × 10⁷ + 2.64 × 10⁷ + 3.641 × 10⁷
Ix = 1.002 × 10⁸ mm⁴ = 100.2 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 100.2 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τxy = 64.23 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
必要な半径
C = (90 + (−50))/2 = 20 MPa
R = σ1 − C = 115 − 20 = 95 MPa
せん断応力
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 70²) = 64.23 MPa
答え
τxy = 64.23 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −5.981 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 60 + 80·−0.5 + −30·0.866 = −5.981 MPa
答え
σθ = −5.981 MPa
11.はりのたわみ
答え: δP = 56.71 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 11000 N, a = 1000 mm, b = 7000 mm, L = 8000 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²
荷重位置のたわみ
δP = Pa²b²/(3EIL) = 11000·1000²·7000²/(3·3.96 × 10¹¹·8000) = 56.71 mm
答え
δP = 56.71 mm
12.はりのたわみ
答え: MA = 45 kN·m
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = wL⁴/(8EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·6/8 = 22.5 kN
固定端のモーメント
荷重と支点 B の反力による A まわりのモーメント。
MA = wL²/2 − RB·L = 180 − 135 = 45 kN·m
答え
MA = 45 kN·m
13.柱の座屈
答え: Pcr = 374.3 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/1500² = 374314 N = 374.3 kN
答え
Pcr = 374.3 kN
14.柱の座屈
答え: d = 83.8 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 3·130000 = 390000 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 83.8 mm
答え
d = 83.8 mm
確認：細長比 KL/r は 167.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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