軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 20 kNd = 12 mmL = 2 mE = 200 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 100 kN区間 1：Ø35 mm、0.5 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø12 mm、1.5 m、鋼（E = 200 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
中空軸がトルク 500 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 75 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。
T = 500 N·mdi/do = 0.7τallow = 75 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
直径 30 mm の黄銅製の中実軸が A で固定されている。A から 0.8 m の B にトルク 250 N·m が作用し、さらに 1 m 先の自由端 C に同じ向きのトルク 400 N·m が作用する。 端 C のねじれ角の大きさ φC を度で求めよ。
d = 30 mmTB = 250 N·mTC = 400 N·mAB = 0.8 mBC = 1 mG = 39 GPa
φC = °
5.せん断力と曲げモーメントふつう
片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 A から x = 0.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 2 mP = 60 kN 位置 1 mw = 5 kN/m（0 から 2 m まで）x = 0.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点 B における曲げモーメント MB を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 7 mw = 10 kN/m（0 から 7 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 6 m
MB = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 160 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
対称な I 形断面のフランジは幅 230 mm、厚さ 22 mm、全高は 380 mm、ウェブの厚さは 12 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 120 kN·m を受ける。 断面内の最大曲げ応力の大きさ σmax を求めよ。
B = 230 mmH = 380 mmtf = 22 mmtw = 12 mmM = 120 kN·m
σmax = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 60 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 60 MPaσy = 30 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 90 MPa、σᵧ = 80 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 35° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = 90 MPaσy = 80 MPaτxy = 30 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。
P = 26 kNa = 1.5 mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。スパン中央に集中荷重 P が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。
L = 4 mP = 15 kN 位置 2 m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が両端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 85 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 85 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 884.2 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 20·1000/113.1 = 176.8 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 176.8/200000 = 0.0008842 = 884.2 µε
答え
ε = 884.2 µε
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 6.891 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 103.9 MPa
σ2 = 884.2 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 103.9·500/200000 = 0.2598 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 884.2·1500/200000 = 6.631 mm
δ = δ1 + δ2 = 6.891 mm
答え
δ = 6.891 mm
3.軸のねじり
答え: do = 35.48 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
許容応力からの外径
T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·75·0.7599)) = 35.48 mm
di = 0.7·35.48 = 24.84 mm
答え
do = 35.48 mm
中実軸なら d = 32.38 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。
4.軸のねじり
答え: φC = 17 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
内部トルク
TC の向きを正とする。
TBC = TC = 400 N·m
TAB = TC + TB = 400 + 250 = 650 N·m
各区間のねじれ角
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 650000·800/(39000·79522) = 0.1677 rad
φBC = 400000·1000/(39000·79522) = 0.129 rad
端 C のねじれ角
φC = 0.1677 + 0.129 = 0.2966 rad → |φC| = 17°
答え
φC = 17°
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = −35.63 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
自由端側を残す
P: −60·0.5 = −30 kN·m
w: −5·1.5²/2 = −5.625 kN·m
Mx = −30 − 5.625 = −35.63 kN·m
答え
Mx = −35.63 kN·m
負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。
6.せん断力と曲げモーメント
答え: MB = −5 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·7 = 70 kN、作用点 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·7·3.5
RB = 245/6 = 40.83 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 40.83 = 29.17 kN
B で切断し、張出し部を残す
張出し部の荷重 w·a は B から a/2 の位置に作用し、はりを支点上で上に凸に曲げます（負の曲げ）。
MB = −w·a²/2 = −10·1²/2 = −5 kN·m
答え
MB = −5 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 38.06 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 160·25 = 4000 mm², yf = 240 + 25/2 = 252.5 mm
ウェブ: Aw = 10·240 = 2400 mm², yw = 240/2 = 120 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·252.5 + 2400·120)/6400 = 202.8 mm
平行軸の定理
フランジ: 160·25³/12 + 4000·(252.5 − 202.8)² = 1.008 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 10·240³/12 + 2400·(120 − 202.8)² = 2.798 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.008 × 10⁷ + 2.798 × 10⁷ = 3.806 × 10⁷ mm⁴ = 38.06 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 38.06 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σmax = 62.88 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ
2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。
hw = 380 − 2·22 = 336 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (230·380³ − 218·336³)/12
Ix = 3.626 × 10⁸ mm⁴
曲げ応力
y = 190 mm
σ = M·y/I = 1.2 × 10⁸·190/3.626 × 10⁸ = 62.88 MPa
答え
σmax = 62.88 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 42.72 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((60 − 30)/2)² + 40²) = 42.72 MPa
答え
τmax = 42.72 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = 114.9 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = 85 + 5·0.342 + 30·0.9397 = 114.9 MPa
答え
σθ = 114.9 MPa
11.はりのたわみ
答え: δB = 60.22 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 26000 N, a = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
自由端のたわみ
荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。
δP = Pa³/(3EI) = 17.21 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.01721 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 60.22 mm
答え
δB = 60.22 mm
12.はりのたわみ
答え: RB = 4.688 kN
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·15/16 = 4.688 kN
答え
RB = 4.688 kN
13.柱の座屈
答え: Pcr = 12.56 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2500² = 12558 N = 12.56 kN
答え
Pcr = 12.56 kN
14.柱の座屈
答え: d = 66.65 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·85000 = 212500 N
KL = 1·3000 = 3000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 66.65 mm
答え
d = 66.65 mm
確認：細長比 KL/r は 180 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials