軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 100 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 300 mm で、剛な板の間で 250 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 250 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 45 kN区間 1：Ø25 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø16 mm、2 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
長さ 2.5 m のアルミニウム製の中実軸がトルク 1000 N·m を受ける。両端間のねじれ角は 1° を超えてはならない。この制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
T = 1000 N·mL = 2.5 mG = 26 GPaφallow = 1°
d = mm
4.軸のねじりむずかしい
鋼製の中実軸が 500 rpm で 20 kW を伝達する。せん断応力は 60 MPa を、ねじれ角は長さ m あたり 1° を超えてはならない。両方の制限を満たす最小の直径 d を求めよ。
P = 20 kWN = 500 rpmτallow = 60 MPaθallow = 1°/mG = 80 GPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
60 kN @ 3 m12 kN/m, 0–6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
35 kN @ 12 m20 kN @ 2 m15 kN/m, 0–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
円管の外径は D = 130 mm、内径は d = 102 mm である。 水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。
D = 130 mmd = 102 mm
r = mm
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 5 kN·m を受ける。 上端の曲げ応力 σ上端 の大きさを求めよ。
bf = 220 mmtf = 10 mmtw = 16 mmhw = 140 mmM = 5 kN·m
σ上端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 150 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。 x 軸から最大主応力の方向までの角度 θp を、−90° から 90° の範囲で求めよ。
σx = 150 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
直径 25 mm の中実軸が曲げモーメント 100 N·mとトルク 750 N·m を同時に受ける。 曲げ応力が引張で最大となる上表面で、 最大主応力 σ1 を求めよ。
d = 25 mmM = 100 N·mT = 750 N·m
σ1 = MPa
11.はりのたわみふつう
片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。
w = 8 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりの支点 B から b = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 はりの最大たわみ δmax を求めよ。
P = 18 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 25 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 50 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.1005 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·5890 = 7.461 × 10⁸ N
縮み
δ = 250000·300/7.461 × 10⁸ = 0.1005 mm
答え
δ = 0.1005 mm
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 5.001 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 91.67 MPa
σ2 = 223.8 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 91.67·1500/117000 = 1.175 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 223.8·2000/117000 = 3.826 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.001 mm
答え
δ = 5.001 mm
3.軸のねじり
答え: d = 86.55 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
必要な断面二次極モーメント
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 2.5 m = 2500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1·π/180 = 0.01745 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·2500/(26000·0.01745) = 5.509 × 10⁶ mm⁴
直径
d = (32J/π)1/4 = 86.55 mm
答え
d = 86.55 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
4.軸のねじり
答え: d = 40.86 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 20000/52.36 = 382 N·m
強度から決まる直径
T = 382 N·m = 381972 N·mm
dτ = ∛(16·381972/(π·60)) = 31.89 mm
剛性から決まる直径
θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·381972/(π·80000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 40.86 mm
決定する直径
両方の制限を満たさなければならないので、大きい方の直径で決まります。
d = max(31.89, 40.86) = 40.86 mm
答え
d = 40.86 mm
ここでは剛性で決まります。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: D (x = 3 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 66 kN, R2 = 66 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 60, MC = 108, MD = 144 kN·m, ME = 108, MF = 60, MG = 0
答え
点 D: MD = 144 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: E (x = 8 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 57.5 kN, R2 = 117.5 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 85, MC = 70, MD = −5, ME = −140 kN·m, MF = −70, MG = 0
答え
点 E: ME = −140 kN·m
7.図心と断面二次モーメント
答え: r = 41.31 mm
断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = Ic + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。 断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。
正味の断面積と断面二次モーメント
A = π(D² − d²)/4 = 5102 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 8.706 × 10⁶ mm⁴
断面二次半径
r = √(I/A) = √(8.706 × 10⁶/5102) = 41.31 mm
答え
r = 41.31 mm
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ上端 = 21.59 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 220·10 = 2200 mm², yf = 140 + 10/2 = 145 mm
ウェブ: Aw = 16·140 = 2240 mm², yw = 140/2 = 70 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2200·145 + 2240·70)/4440 = 107.2 mm
平行軸の定理
フランジ: 220·10³/12 + 2200·(145 − 107.2)² = 3.168 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 16·140³/12 + 2240·(70 − 107.2)² = 6.752 × 10⁶ mm⁴
Ix = 3.168 × 10⁶ + 6.752 × 10⁶ = 9.92 × 10⁶ mm⁴
曲げ応力
上端は軸から h − ȳ の位置にあります。
y = 150 − 107.2 = 42.84 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·42.84/9.92 × 10⁶ = 21.59 MPa
答え
σ上端 = 21.59 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: θp = 28.15 °
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
円上の角度
モールの応力円上で、点 x は σ 軸から角度 2θp の位置にあります。象限は σₓ − σᵧ と τₓᵧ の符号で決まります。
2θp = atan2(2·30, 150 − 110) = 56.31°
要素上の角度
θp = 28.15°
答え
θp = 28.15°
反時計回りの角度を正とします。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σ1 = 279.2 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
表面の応力
σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·25³) = 65.19 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·25³) = 244.5 MPa
モールの応力円
C = σ/2 = 32.59 MPa
R = √(32.59² + 244.5²) = 246.6 MPa
σ1 = C + R = 279.2 MPa
σ2 = C − R = −214 MPa
答え
σ1 = 279.2 MPa
11.はりのたわみ
答え: δ = 22.19 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 8 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
たわみ
δ = wL⁴/(8EI) = 8·2500⁴/(8·1.76 × 10¹²) = 22.19 mm
答え
δ = 22.19 mm
12.はりのたわみ
答え: δmax = 55.75 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 18000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²
最大たわみの位置
長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。
x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm
最大たわみ
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 55.75 mm
答え
δmax = 55.75 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 4.326 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1750² = 4326 N = 4.326 kN
答え
Pcr = 4.326 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 35.25 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/12.5 = 140
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa
答え
σcr = 35.25 MPa
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