軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 20 mm、E = 200 GPa）が、青銅 でできた管（外径 80 mm、内径 50 mm、E = 110 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 500 mm で、剛な板の間で 250 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 250 kN棒: Ø20 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
鋼 の区間（直径 40 mm、長さ 400 mm、E = 200 GPa）と、黄銅 でできた区間（直径 50 mm、長さ 300 mm、E = 100 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 50 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。
区間 1: 鋼, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa区間 2: 黄銅, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 500 N·md = 50 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 500 rpm で 10 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 10 kWN = 500 rpmdo = 75 mmdi = 53 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。
20 kN @ 8 m50 kN @ 6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 10 mP = 10 kN 位置 3 mw = 4 kN/m（0 から 10 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm × 240 mm の板に、幅 40 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 84 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 240 mm切り欠き: 40 × 40 mm穴の中心: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 90 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = 20 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。
σx = 90 MPaσy = −70 MPaτxy = 20 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 120 MPa、σᵧ = 30 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 35° 回転した面上のせん断応力 τθ を求めよ（τₓᵧ と同じ向きを正とする）。
σx = 120 MPaσy = 30 MPaτxy = −20 MPaθ = 35°
τθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。
w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。
L = 6 mw = 5 kN/m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2.5 で 55 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 55 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.3127 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·3063 = 3.998 × 10⁸ N
縮み
δ = 250000·500/3.998 × 10⁸ = 0.3127 mm
答え
δ = 0.3127 mm
2.軸応力とひずみ
答え: σ2 = 12.99 MPa
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
剛性
k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 100000·1963/300 = 654498 N/mm
区間 2 の分担
F2 = 50000·654498/1.283 × 10⁶ = 25510 N
応力
σ2 = 25510/1963 = 12.99 MPa （圧縮）
答え
σ2 = 12.99 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 0.7003 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(80000·613592) = 0.01222 rad
φ = 0.01222·180/π = 0.7003°
答え
φ = 0.7003°
4.軸のねじり
答え: τmax = 3.072 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m
断面二次極モーメント
J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 190986·37.5/2.332 × 10⁶ = 3.072 MPa
答え
τmax = 3.072 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: D (x = 6 m)
最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。
支点反力
一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。
R1 = 31.67 kN, R2 = 38.33 kN
各点での曲げモーメント
切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。
MA = 0, MB = 63.33, MC = 126.7, MD = 190 kN·m, ME = 153.3, MF = 76.67, MG = 0
答え
点 D: MD = 190 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 66.13 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·3 + 4·10·5
RB = 230/10 = 23 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 23 = 27 kN
V = 0 となるのはどこですか？
RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (27 − 10)/4 = 4.25 m
最大モーメント
Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 3) − w·x0²/2 = 66.13 kN·m
答え
Mmax = 66.13 kN·m
それは A から x = 4.25 m の位置に生じます。
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 6.661 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 100·25 = 2500 mm², yf = 120 + 25/2 = 132.5 mm
ウェブ: Aw = 12·120 = 1440 mm², yw = 120/2 = 60 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2500·132.5 + 1440·60)/3940 = 106 mm
平行軸の定理
フランジ: 100·25³/12 + 2500·(132.5 − 106)² = 1.885 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 12·120³/12 + 1440·(60 − 106)² = 4.775 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.885 × 10⁶ + 4.775 × 10⁶ = 6.661 × 10⁶ mm⁴ = 6.661 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 6.661 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 112.8 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (24000·120 − 1600·84)/(24000 − 1600) = 122.6 mm
ȳ まわりの全体の板
100·240³/12 + 24000·−2.571² = 115.4 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
40·40³/12 + 1600·−38.57² = 2.594 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 112.8 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 112.8 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τabs = 82.46 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。
面内の主応力
C = 10 MPa, R = √(80² + 20²) = 82.46 MPa
σ1 = 92.46 MPa, σ2 = −72.46 MPa, σz = 0
3 つの円のうち最大のもの
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(164.9, 92.46, 72.46)/2 = 82.46 MPa
答え
τabs = 82.46 MPa
ここでは σ₁ と σ₂ の符号が逆なので、面内最大値 R が絶対最大値でもあります。
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τθ = −49.13 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
τθ = −45·0.9397 + −20·0.342 = −49.13 MPa
答え
τθ = −49.13 MPa
11.はりのたわみ
答え: δmax = 19.15 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
たわみ
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 19.15 mm
答え
δmax = 19.15 mm
12.はりのたわみ
答え: RB = 11.25 kN
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。
支点 B を取り除く
支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。
δload = wL⁴/(8EI)
支点 B での適合条件
支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·6/8 = 11.25 kN
答え
RB = 11.25 kN
13.柱の座屈
答え: Pcr = 8.721 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·3000 = 3000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8.721 kN
答え
Pcr = 8.721 kN
14.柱の座屈
答え: d = 69.03 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2.5·55000 = 137500 N
KL = 2·2000 = 4000 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 69.03 mm
答え
d = 69.03 mm
確認：細長比 KL/r は 231.8 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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