材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
300 kNØ25100 GPaØ100/70400 mmδ = ?

鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、黄銅 でできた管（外径 100 mm、内径 70 mm、E = 100 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 300 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。

P = 300 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 40 mm鋼1 mØ 16 mm黄銅2 mP = 115 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。

P = 115 kN区間 1：Ø40 mm、1 m、鋼（E = 200 GPa）区間 2：Ø16 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
do​ = ?T = 100 N·m

中空軸がトルク 100 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.7 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。

T = 100 N·mdi/do = 0.7τallow = 80 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
Td = ?

中実軸が 1800 rpm で 30 kW を伝達し、せん断応力が 80 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 30 kWN = 1800 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
6 kN/m50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

50 kN @ 2 m6 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
25 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

25 kN @ 6 m30 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
220140t = 12x寸法の単位：mm

溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 220 mm の底板と、全高 140 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 12 mm である。 図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

b = 220 mmh = 140 mmt = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm200 mm80 mm50 × 40xIx​ = ?

100 mm × 200 mm の板に、幅 50 mm、高さ 40 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 80 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 100 mmh = 200 mm切り欠き: 50 × 40 mm穴の中心: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = −20σy​ = 110τxy​ = −20MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −20 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = −20 MPaσy = 110 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = −80σy​ = 10τxy​ = 10MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −80 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = 10 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 355 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σx = −80 MPaσy = 10 MPaτxy = 10 MPaσY = 355 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
w = 20 kN/mδL = 1.5 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 20 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 6 kN/mAB3 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。

L = 3 mw = 6 kN/m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
PL = 3 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 50 kNL = 5 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 50 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 50 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.2406 mm

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·4006 = 4.987 × 10⁸ N

縮み

δ = 300000·400/4.987 × 10⁸ = 0.2406 mm

答え

δ = 0.2406 mm
2.軸応力とひずみ

答え: σmax = 572 MPa

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 91.51 MPa
σ2 = 572 MPa

最大応力

細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。

σmax = 572 MPa

答え

σmax = 572 MPa
3.軸のねじり

答え: do = 20.31 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

許容応力からの外径

T = 100 N·m = 100000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·80·0.7599)) = 20.31 mm
di = 0.7·20.31 = 14.22 mm

答え

do = 20.31 mm

中実軸なら d = 18.53 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。

4.軸のねじり

答え: d = 21.64 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 30000/188.5 = 159.2 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·159155/(π·80)) = 21.64 mm

答え

d = 21.64 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: C (x = 4 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 62.67 kN, R2 = 23.33 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 125.3, MC = 138.7 kN·m, MD = 128, ME = 93.33, MF = 46.67, MG = 0

答え

点 C: MC = 138.7 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: F (x = 5 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 19 kN, R2 = 36 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 19, MC = 8, MD = −3, ME = −14, MF = −25 kN·m, MG = 0

答え

点 F: MF = −25 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 11.18 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

長方形に分割

底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。

基剤: A1 = 220·12 = 2640 mm², y1 = 6 mm
2 本の脚: A2 = 2·12·128 = 3072 mm², y2 = 12 + 128/2 = 76 mm

図心

ȳ = (2640·6 + 3072·76)/5712 = 43.65 mm

平行軸の定理

基剤: 220·12³/12 + 2640·(6 − 43.65)² = 3.773 × 10⁶ mm⁴
2 本の脚: 2·12·128³/12 + 3072·(76 − 43.65)² = 7.41 × 10⁶ mm⁴
Ix = 3.773 × 10⁶ + 7.41 × 10⁶
Ix = 1.118 × 10⁷ mm⁴ = 11.18 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 11.18 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 65.51 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (20000·100 − 2000·80)/(20000 − 2000) = 102.2 mm

ȳ まわりの全体の板

100·200³/12 + 20000·−2.222² = 66.77 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

50·40³/12 + 2000·−22.22² = 1.254 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 65.51 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 65.51 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 68.01 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((−20 − 110)/2)² + −20²) = 68.01 MPa

答え

τmax = 68.01 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 3.851

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = −35 MPa, R = 46.1 MPa
σ1 = 11.1 MPa, σ2 = −81.1 MPa, σ3 = 0

トレスカ

σmax − σmin = 92.2 MPa
n = 355/92.2 = 3.851

答え

n = 3.851

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

11.はりのたわみ

答え: δ = 50.02 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 20 N/mm, L = 1500 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 20·1500⁴/(8·2.53 × 10¹¹) = 50.02 mm

答え

δ = 50.02 mm
12.はりのたわみ

答え: RB = 6.75 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·6·3/8 = 6.75 kN

答え

RB = 6.75 kN
13.柱の座屈

答え: Pcr = 34.88 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34.88 kN

答え

Pcr = 34.88 kN
14.柱の座屈

答え: d = 77.53 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2·50000 = 100000 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 77.53 mm

答え

d = 77.53 mm

確認：細長比 KL/r は 180.6 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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