軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
鋼 の棒（直径 25 mm、E = 200 GPa）が、アルミニウム でできた管（外径 80 mm、内径 60 mm、E = 70 GPa）の中に入っています。どちらも長さ 400 mm で、剛な板の間で 80 kN によって一緒に圧縮されます。 縮み δ を求めなさい。
P = 80 kN棒: Ø25 mm, E = 200 GPa管: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。
P = 55 kN区間 1：Ø25 mm、2 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø16 mm、1 m、黄銅（E = 100 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
アルミニウム製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 100 N·md = 30 mmL = 2.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中空軸が 500 rpm で 10 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。
P = 10 kWN = 500 rpmdo = 75 mmdi = 60 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 支点 B のすぐ左側でのせん断力 Vx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 7 mP1 = 40 kN 位置 2 mP2 = 30 kN 位置 7 m支点の位置 x = 0 と x = 5 m
Vx = kN
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。
L = 4 mP = 10 kN 位置 3 mw = 10 kN/m（0 から 4 m まで）
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
200 mm × 240 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 40 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 96 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 200 mmh = 240 mmd = 40 mm穴の中心: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
100 mm × 240 mm の板に、幅 30 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 72 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。
b = 100 mmh = 240 mm切り欠き: 30 × 30 mm穴の中心: y = 72 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 40 MPa、σᵧ = −80 MPa、τₓᵧ = −40 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。
σx = 40 MPaσy = −80 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = −60 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 15° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。
σx = −60 MPaσy = 20 MPaτxy = 20 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θA をラジアンで求めよ。
w = 15 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.はりのたわみむずかしい
単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 はりの最大たわみ δmax を求めよ。
P = 3 kNb = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2 で 55 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。
P = 55 kNn = 2L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: δ = 0.1269 mm
2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。
面積
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
合成した軸剛性
ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·2199 = 2.521 × 10⁸ N
縮み
δ = 80000·400/2.521 × 10⁸ = 0.1269 mm
答え
δ = 0.1269 mm
2.軸応力とひずみ
答え: δ = 5.937 mm
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 112 MPa
σ2 = 273.5 MPa
各区間の伸びを足す
δ1 = σ1L1/E1 = 112·2000/70000 = 3.201 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 273.5·1000/100000 = 2.735 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.937 mm
答え
δ = 5.937 mm
3.軸のねじり
答え: φ = 6.928 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(26000·79522) = 0.1209 rad
φ = 0.1209·180/π = 6.928°
答え
φ = 6.928°
4.軸のねじり
答え: τmax = 3.905 MPa
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 10000/52.36 = 191 N·m
断面二次極モーメント
J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1.834 × 10⁶ mm⁴
最大せん断応力
τmax = T·(do/2)/J = 190986·37.5/1.834 × 10⁶ = 3.905 MPa
答え
τmax = 3.905 MPa
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Vx = −28 kN
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。
ΣMA = 0: RB·5 = 40·2 + 30·7
RB = 290/5 = 58 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 58 = 12 kN
B のすぐ左で切断し、左側を残す
Vx = RA − P1 = 12 − 40 = −28 kN
答え
Vx = −28 kN
6.せん断力と曲げモーメント
答え: Mmax = 25.31 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·3 + 10·4·2
RB = 110/4 = 27.5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 27.5 = 22.5 kN
V = 0 となるのはどこですか？
RA − w·x0 = 0 → x0 = 22.5/10 = 2.25 m
最大モーメント
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 22.5·2.25 − 10·2.25²/2 = 25.31 kN·m
答え
Mmax = 25.31 kN·m
それは A から x = 2.25 m の位置に生じます。
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 229.5 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (48000·120 − 1257·96)/(48000 − 1257) = 120.6 mm
ȳ まわりの全体の板
200·240³/12 + 48000·−0.6452² = 230.4 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
π·40⁴/64 + 1257·−24.65² = 0.8889 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 229.5 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 229.5 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 113 × 10⁶ mm⁴
穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。
図心
ȳ = (24000·120 − 900·72)/(24000 − 900) = 121.9 mm
ȳ まわりの全体の板
100·240³/12 + 24000·−1.87² = 115.3 × 10⁶ mm⁴
ȳ まわりの穴
30·30³/12 + 900·−49.87² = 2.306 × 10⁶ mm⁴
引く
Ix = 113 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 113 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: τmax = 72.11 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
モールの応力円の半径
τmax = R = √(((40 − −80)/2)² + −40²) = 72.11 MPa
答え
τmax = 72.11 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σθ = −44.64 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
変換式
σθ = −20 + −40·0.866 + 20·0.5 = −44.64 MPa
答え
σθ = −44.64 MPa
11.はりのたわみ
答え: θA = 0.008337 rad
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 1500 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²
端部のたわみ角
θA = wL³/(24EI) = 15·1500³/(24·2.53 × 10¹¹) = 0.008337 rad
答え
θA = 0.008337 rad
これは 0.4777° です。
12.はりのたわみ
答え: δmax = 1.13 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 3000 N, b = 1000 mm, L = 6000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²
最大たわみの位置
長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。
x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 1000²)/3) = 3416 mm
最大たわみ
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 1.13 mm
答え
δmax = 1.13 mm
13.柱の座屈
答え: Pcr = 11.99 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 2·3000 = 6000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/6000² = 11994 N = 11.99 kN
答え
Pcr = 11.99 kN
14.柱の座屈
答え: d = 33.45 mm
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
必要な座屈荷重
Pcr = n·P = 2·55000 = 110000 N
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
直径について解く
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 33.45 mm
答え
d = 33.45 mm
確認：細長比 KL/r は 125.6 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。
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