材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 30 mmアルミニウム0.5 mP = 120 kN

アルミニウム製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 120 kNd = 30 mmL = 0.5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 25 mm銅1.5 mØ 16 mmアルミニウム1 mP = 45 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。

P = 45 kN区間 1：Ø25 mm、1.5 m、銅（E = 117 GPa）区間 2：Ø16 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
do​ = ?T = 2000 N·m

中空軸がトルク 2000 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.75 倍とし、せん断応力は 80 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。

T = 2000 N·mdi/do = 0.75τallow = 80 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
Td = ?

中実軸が 3000 rpm で 50 kW を伝達し、せん断応力が 60 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。

P = 50 kWN = 3000 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 45 kNP2​ = 35 kNABC3.5 m2.5 m1 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 荷重 P1 の位置における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 7 mP1 = 45 kN 位置 3.5 mP2 = 35 kN 位置 7 m支点の位置 x = 0 と x = 6 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 3 kN/mABC8 m2 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 10 mw = 3 kN/m（0 から 10 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 8 m
Mmax = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
2201012016x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 220 mmtf = 10 mmtw = 16 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
200302608x正の M寸法の単位：mm

鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 50 MPa、圧縮で 150 MPa である。 はりが負担できる最大の正の曲げモーメント Mallow を求めよ。

bf = 200 mmtf = 30 mmtw = 8 mmhw = 260 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 150 MPa
Mallow = kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 60σy​ = 70τxy​ = 30MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 60 MPa、σᵧ = 70 MPa、τₓᵧ = 30 MPa、σz = 0。その点での絶対最大せん断応力 τabs を求めよ（3 次元のすべての面を考える）。

σx = 60 MPaσy = 70 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = −40σy​ = −70τxy​ = −30MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −40 MPa、σᵧ = −70 MPa、τₓᵧ = −30 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 275 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σx = −40 MPaσy = −70 MPaτxy = −30 MPaσY = 275 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
w = 8 kN/mδL = 3 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
P = 19 kNABδ3 m1 m

単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。 はりの最大たわみ δmax を求めよ。

P = 19 kNb = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (鋼)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 1 m30 × 50 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 65 kNL = 5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 65 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 65 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 2425 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 120·1000/706.9 = 169.8 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 169.8/70000 = 0.002425 = 2425 µε

答え

ε = 2425 µε
2.軸応力とひずみ

答え: δ = 4.373 mm

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 91.67 MPa
σ2 = 223.8 MPa

各区間の伸びを足す

δ1 = σ1L1/E1 = 91.67·1500/117000 = 1.175 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 223.8·1000/70000 = 3.197 mm
δ = δ1 + δ2 = 4.373 mm

答え

δ = 4.373 mm
3.軸のねじり

答え: do = 57.11 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

許容応力からの外径

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·80·0.6836)) = 57.11 mm
di = 0.75·57.11 = 42.83 mm

答え

do = 57.11 mm

中実軸なら d = 50.31 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。

4.軸のねじり

答え: d = 23.82 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 50000/314.2 = 159.2 N·m

許容応力から直径を求める

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·159155/(π·60)) = 23.82 mm

答え

d = 23.82 mm

実際には、次の規格寸法に切り上げます。

5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 45.21 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。

ΣMA = 0: RB·6 = 45·3.5 + 35·7
RB = 402.5/6 = 67.08 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 67.08 = 12.92 kN

P1 の位置で切断し、左側を残す

Mx = RA·3.5 = 12.92·3.5 = 45.21 kN·m

答え

Mx = 45.21 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 21.09 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 3·10·5
RB = 150/8 = 18.75 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 18.75 = 11.25 kN

せん断力 0 の位置

RA − w·x0 = 0 → x0 = 11.25/3 = 3.75 m

最大の正の曲げモーメント

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 11.25²/(2·3) = 21.09 kN·m

答え

Mmax = 21.09 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 6.654 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 220·10 = 2200 mm², yf = 120 + 10/2 = 125 mm
ウェブ: Aw = 16·120 = 1920 mm², yw = 120/2 = 60 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2200·125 + 1920·60)/4120 = 94.71 mm

平行軸の定理

フランジ: 220·10³/12 + 2200·(125 − 94.71)² = 2.037 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 16·120³/12 + 1920·(60 − 94.71)² = 4.617 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.037 × 10⁶ + 4.617 × 10⁶ = 6.654 × 10⁶ mm⁴ = 6.654 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 6.654 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Mallow = 9.391 kN·m

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

図心

ȳ = (6000·275 + 2080·130)/8080 = 237.7 mm
上縁: c = 290 − 237.7 = 52.33 mm

断面二次モーメント

I = 200·30³/12 + 6000·37.33² + 8·260³/12 + 2080·107.7² = 4.464 × 10⁷ mm⁴

各縁で許容されるモーメント

正の曲げ：上側は圧縮、下側は引張です。

上縁: M = 150·4.464 × 10⁷/52.33 = 128 kN·m
下縁: M = 50·4.464 × 10⁷/237.7 = 9.391 kN·m

決定値

Mallow = min = 9.391 kN·m (下縁)

答え

Mallow = 9.391 kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τabs = 47.71 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 3 次元では、絶対最大せん断応力は 3 つの主応力全体での (σmax − σmin)/2 です。平面応力では第 3 の主応力は 0 です。

στxyCσ1​σ2​

面内の主応力

C = 65 MPa, R = √((−5)² + 30²) = 30.41 MPa
σ1 = 95.41 MPa, σ2 = 34.59 MPa, σz = 0

3 つの円のうち最大のもの

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(60.83, 95.41, 34.59)/2 = 47.71 MPa

答え

τabs = 47.71 MPa

ここでは面外の円で決まります：絶対最大値は面内最大値 R より大きくなります。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 3.106

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = −55 MPa, R = 33.54 MPa
σ1 = −21.46 MPa, σ2 = −88.54 MPa, σ3 = 0

トレスカ

σmax − σmin = 88.54 MPa
n = 275/88.54 = 3.106

答え

n = 3.106

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

11.はりのたわみ

答え: δmax = 1.834 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 3000 mm
EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 1.834 mm

答え

δmax = 1.834 mm
12.はりのたわみ

答え: δmax = 1.054 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 19000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

最大たわみの位置

長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

最大たわみ

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 1.054 mm

答え

δmax = 1.054 mm
13.柱の座屈

答え: Pcr = 77.72 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·1000 = 1000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/1000² = 77723 N = 77.72 kN

答え

Pcr = 77.72 kN
14.柱の座屈

答え: d = 67.32 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·65000 = 162500 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 67.32 mm

答え

d = 67.32 mm

確認：細長比 KL/r は 207.9 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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