材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 30 mmアルミニウム2 mP = 15 kN

軸荷重を受けるアルミニウム製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 15 kNd = 30 mmL = 2 mE = 70 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
Ø 25 mm黄銅2 mØ 12 mm銅0.5 mP = 65 kN

段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。全体の伸び δ を求めよ。

P = 65 kN区間 1：Ø25 mm、2 m、黄銅（E = 100 GPa）区間 2：Ø12 mm、0.5 m、銅（E = 117 GPa）
δ = mm
3.軸のねじりふつう
d = 15 mmT = 100 N·m250 mmφ = 11.08°

ねじり試験で、直径 15 mm の中実試験片をトルク 100 N·m でねじる。標点距離 250 mm の両端は互いに 11.08° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。

T = 100 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 11.08°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
d = 40 mmTB​ = 200 N·mTC​ = 250 N·mABC1.5 m3 m

直径 40 mm の鋼製の中実軸が A で固定されている。A から 1.5 m の B にトルク 200 N·m が作用し、さらに 3 m 先の自由端 C に逆向きのトルク 250 N·m が作用する。 軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

d = 40 mmTB = 200 N·mTC = 250 N·mAB = 1.5 mBC = 3 m
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
P1​ = 25 kNP2​ = 10 kNABC4 m1 m1.5 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。支点間に集中荷重 P1、C に集中荷重 P2 が作用する。 荷重 P1 の位置における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6.5 mP1 = 25 kN 位置 4 mP2 = 10 kN 位置 6.5 m支点の位置 x = 0 と x = 5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 5 kN/mP = 55 kNAB断面1 m9 m

支点 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mP = 55 kN 位置 1 mw = 5 kN/m（0 から 10 m まで）x = 1 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
200 mm200 mm60 mmØ30xIx​ = ?

200 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 30 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 60 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 200 mmh = 200 mmd = 30 mm穴の中心: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
150250203201212x寸法の単位：mm

溶接 I 形断面は、上フランジ 150 × 20 mm、高さ 320 mm・厚さ 12 mm のウェブ、下フランジ 250 × 12 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

上フランジ: 150 × 20 mmウェブ: 12 × 320 mm下フランジ: 250 × 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 150σy​ = 50τxy​ = 30MPa

ある点で σₓ = 150 MPa、σᵧ = 50 MPa、τₓᵧ = 30 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σx = 150 MPaσy = 50 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = −80σy​ = 20τxy​ = 20MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = −80 MPa、σᵧ = 20 MPa、τₓᵧ = 20 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 250 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σx = −80 MPaσy = 20 MPaτxy = 20 MPaσY = 250 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
w = 15 kN/mδL = 3 m

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 8 kN/mδL = 2 m

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント Ireq を求めよ。

w = 8 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (鋼)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈ふつう
PL = 1.5 m20 × 50 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 5 md = 30 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 30 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 0.6063 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 15·1000/706.9 = 21.22 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for アルミニウム = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 21.22/70000 = 0.0003032 = 303.2 µε

伸び

δ = ε·L = 0.0003032·2000 mm = 0.6063 mm

答え

δ = 0.6063 mm
2.軸応力とひずみ

答え: δ = 5.104 mm

軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。

両区間で同じ力

自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 132.4 MPa
σ2 = 574.7 MPa

各区間の伸びを足す

δ1 = σ1L1/E1 = 132.4·2000/100000 = 2.648 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 574.7·500/117000 = 2.456 mm
δ = δ1 + δ2 = 5.104 mm

答え

δ = 5.104 mm
3.軸のねじり

答え: G = 26.01 GPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメントと角度

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 11.08·π/180 = 0.1934 rad

横弾性係数

T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 100000·250/(4970·0.1934) = 26011 MPa
G = 26.01 GPa

答え

G = 26.01 GPa

比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。

4.軸のねじり

答え: τmax = 19.89 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

内部トルク

TC の向きを正とする。

TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC − TB = 250 − 200 = 50 N·m

最大せん断応力

内部トルクが最大の区間で応力が最大になります（直径が同じ場合）。

|T|max = 250 N·m
τmax = 16·250000/(π·40³) = 19.89 MPa

答え

τmax = 19.89 MPa
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 8 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。

ΣMA = 0: RB·5 = 25·4 + 10·6.5
RB = 165/5 = 33 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 33 = 2 kN

P1 の位置で切断し、左側を残す

Mx = RA·4 = 2·4 = 8 kN·m

答え

Mx = 8 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 72 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 55·1 + 5·10·5
RB = 305/10 = 30.5 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 30.5 = 74.5 kN
w = 5 kN/mP = 55 kNABRA​ = 74.5RB​ = 30.5断面1 m9 m

x = 1 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 74.5·1 − 5·1·0.5 = 72 kN·m

答え

Mx = 72 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 132.1 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (40000·100 − 706.9·60)/(40000 − 706.9) = 100.7 mm

ȳ まわりの全体の板

200·200³/12 + 40000·−0.7196² = 133.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·30⁴/64 + 706.9·−40.72² = 1.212 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 132.1 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 132.1 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 202.3 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 3000 mm², y = 342 mm
ウェブ: A = 3840 mm², y = 172 mm
下フランジ: A = 3000 mm², y = 6 mm

図心

ȳ = (3000·342 + 3840·172 + 3000·6)/9840 = 173.2 mm

平行軸の定理

上フランジ: 150·20³/12 + 3000·168.8² = 8.556 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 12·320³/12 + 3840·1.22² = 3.277 × 10⁷ mm⁴
下フランジ: 250·12³/12 + 3000·167.2² = 8.392 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8.556 × 10⁷ + 3.277 × 10⁷ + 8.392 × 10⁷
Ix = 2.023 × 10⁸ mm⁴ = 202.3 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 202.3 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θs = −29.52 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

円上の角度

モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。

cos 2θs = 30/58.31 = 0.5145, sin 2θs = −50/58.31 = −0.8575
2θs = atan2(−50, 30) = −59.04°

要素上の角度

θs = −29.52°
確認: θs − θp = −29.52 − 15.48 = −45°

答え

θs = −29.52°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 2.321

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = −30 MPa, R = 53.85 MPa
σ1 = 23.85 MPa, σ2 = −83.85 MPa, σ3 = 0

トレスカ

σmax − σmin = 107.7 MPa
n = 250/107.7 = 2.321

答え

n = 2.321

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

11.はりのたわみ

答え: δ = 4.746 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 15·3000⁴/(8·3.2 × 10¹³) = 4.746 mm

答え

δ = 4.746 mm
12.はりのたわみ

答え: Ireq = 1.5 × 10⁶ mm⁴

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

たわみの制限

δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·2000⁴/(384·200000·5.556) = 1.5 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 1.5 × 10⁶ mm⁴

答え

Ireq = 1.5 × 10⁶ mm⁴
13.柱の座屈

答え: Pcr = 29.24 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·1500 = 1500 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/1500² = 29243 N = 29.24 kN

答え

Pcr = 29.24 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 4.441 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/7.5 = 666.7

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/666.7² = 4.441 MPa

答え

σcr = 4.441 MPa

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