材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 20 mm鋼1 mP = 20 kN

鋼製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。

P = 20 kNd = 20 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
P = ?Ø40110 GPaØ120/60500 mm

鋼 の棒（直径 40 mm、E = 200 GPa、許容応力 150 MPa）が、青銅 でできた管（外径 120 mm、内径 60 mm、E = 110 GPa、許容応力 70 MPa）の中に入っています。両者は剛な板の間で一緒に圧縮されます。最大荷重 Pmax を求めなさい。

棒: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa管: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.軸のねじりふつう
d = 12 mmT = 75 N·m200 mmφ = 10.82°

ねじり試験で、直径 12 mm の中実試験片をトルク 75 N·m でねじる。標点距離 200 mm の両端は互いに 10.82° 回転する（材料はまだ弾性域にある）。材料の横弾性係数 G を求めよ。

T = 75 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 10.82°
G = GPa
4.軸のねじりむずかしい
Tdo​ = 60 mm, di​ = 36 mm

中空軸が 750 rpm で 10 kW を伝達する。軸の最大せん断応力 τmax を求めよ。

P = 10 kWN = 750 rpmdo = 60 mmdi = 36 mm
τmax = MPa
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 6 kN/mAB断面3 m7 m

支点 A から x = 3 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 6 kN/m（0 から 10 m まで）x = 3 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
15 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

15 kN @ 0 m10 kN @ 12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.図心と断面二次モーメントふつう
200 mm200 mm70 mmØ30xIx​ = ?

200 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 30 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 70 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 200 mmh = 200 mmd = 30 mm穴の中心: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
200 mm150 mm52.5 mm30 × 30xIx​ = ?

200 mm × 150 mm の板に、幅 30 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 52.5 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 200 mmh = 150 mm切り欠き: 30 × 30 mm穴の中心: y = 52.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 120σy​ = 10τxy​ = −20MPa

ある点で σₓ = 120 MPa、σᵧ = 10 MPa、τₓᵧ = −20 MPa である（引張を正とする）。せん断応力が最大の正の値 +R をとる面について、x 軸からその面の法線までの角度 θs を −90° から 90° の範囲で求めよ（せん断応力は τₓᵧ と同じ向きを正とする）。

σx = 120 MPaσy = 10 MPaτxy = −20 MPa
θs = °
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 160σy​ = −20τxy​ = 30MPa

薄板内の点は平面応力状態にある：σₓ = 160 MPa、σᵧ = −20 MPa、τₓᵧ = 30 MPa（σz = 0）。 材料の降伏強さは 460 MPa である。トレスカ（最大せん断応力）説による降伏に対する安全率 n を求めよ。

σx = 160 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPaσY = 460 MPa
n =
11.はりのたわみふつう
P = 23 kNABδ1 m3 m

単純ばりの支点 A から a = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 23 kNa = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 6 kN/mAB8 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。

L = 8 mw = 6 kN/m
RB = kN
13.柱の座屈ふつう
PL = 6 md = 50 mm断面

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
P = 85 kNL = 1 md = ?断面

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2.5 で 85 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 85 kNn = 2.5L = 1 mE = 70 GPa (アルミニウム)
d = mm

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: ε = 318.3 µε

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 20·1000/314.2 = 63.66 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 鋼 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 63.66/200000 = 0.0003183 = 318.3 µε

答え

ε = 318.3 µε
2.軸応力とひずみ

答え: Pmax = 753.7 kN

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

面積

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

合成した軸剛性

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·8482 = 1.184 × 10⁹ N

支配するひずみ

ε = min(0.00075, 0.0006364) = 0.0006364 (青銅)

最大荷重

Pmax = 0.0006364·1.184 × 10⁹ = 753697 N = 753.7 kN

答え

Pmax = 753.7 kN
3.軸のねじり

答え: G = 39.02 GPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

断面二次極モーメントと角度

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 10.82·π/180 = 0.1888 rad

横弾性係数

T = 75 N·m = 75000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 75000·200/(2036·0.1888) = 39018 MPa
G = 39.02 GPa

答え

G = 39.02 GPa

比較：鋼 ≈ 80 GPa、黄銅 ≈ 39 GPa、アルミニウム ≈ 26 GPa。

4.軸のねじり

答え: τmax = 3.449 MPa

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

トルク

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 10000/78.54 = 127.3 N·m

断面二次極モーメント

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1.107 × 10⁶ mm⁴

最大せん断応力

τmax = T·(do/2)/J = 127324·30/1.107 × 10⁶ = 3.449 MPa

答え

τmax = 3.449 MPa
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 63 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 6·10·5
RB = 300/10 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 30RB​ = 30断面3 m7 m

x = 3 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 30·3 − 6·3·1.5 = 63 kN·m

答え

Mx = 63 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: B (x = 2 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 16.25 kN, R2 = 8.75 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = −30 kN·m, MC = −27.5, MD = −25, ME = −22.5, MF = −20, MG = 0

答え

点 B: MB = −30 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 132.6 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (40000·100 − 706.9·70)/(40000 − 706.9) = 100.5 mm

ȳ まわりの全体の板

200·200³/12 + 40000·−0.5397² = 133.3 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·30⁴/64 + 706.9·−30.54² = 0.699 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 132.6 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 132.6 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 55.71 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (30000·75 − 900·52.5)/(30000 − 900) = 75.7 mm

ȳ まわりの全体の板

200·150³/12 + 30000·−0.6959² = 56.26 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

30·30³/12 + 900·−23.2² = 0.5517 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 55.71 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 55.71 × 10⁶ mm⁴
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: θs = −54.99 °

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

στxyCτmax​

円上の角度

モールの応力円上では頂点（+R）は主応力点 σ₁ から 90° 離れており、要素上では 45° です。

cos 2θs = −20/58.52 = −0.3417, sin 2θs = −55/58.52 = −0.9398
2θs = atan2(−55, −20) = −110°

要素上の角度

θs = −54.99°
確認: θs − θp = −54.99 − (−9.992) = −45°

答え

θs = −54.99°

反時計回りの角度を正とします。

10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: n = 2.424

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 降伏条件：ミーゼス説では σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) が σY に達したとき、トレスカ説では絶対最大せん断応力が σY/2 に達したときに降伏すると予測します。

στxyCσ1​σ2​

主応力

C = 70 MPa, R = 94.87 MPa
σ1 = 164.9 MPa, σ2 = −24.87 MPa, σ3 = 0

トレスカ

σmax − σmin = 189.7 MPa
n = 460/189.7 = 2.424

答え

n = 2.424

n > 1 はその点が降伏しないことを意味します。トレスカはミーゼスより少し安全側です。

11.はりのたわみ

答え: δP = 2.934 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 23000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa²b²/(3EIL) = 23000·1000²·3000²/(3·5.88 × 10¹²·4000) = 2.934 mm

答え

δP = 2.934 mm
12.はりのたわみ

答え: RB = 18 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·6·8/8 = 18 kN

答え

RB = 18 kN
13.柱の座屈

答え: Pcr = 34.33 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4200² = 34331 N = 34.33 kN

答え

Pcr = 34.33 kN
14.柱の座屈

答え: d = 70.76 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·85000 = 212500 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 70.76 mm

答え

d = 70.76 mm

確認：細長比 KL/r は 113.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

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