材料力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

軸応力とひずみ

垂直応力
σ = F/A
ひずみ
ε = ΔL/L
フックの法則
σ = E·ε
伸び
ΔL = FL/(EA)
熱ひずみ
εT = α·ΔT

軸のねじり

せん断応力
τ = T·r/J
中実軸
J = πd⁴/32
中空軸
J = π(D⁴ − d⁴)/32
ねじれ角
φ = TL/(GJ)
電力
P = T·ω = 2πnT/60

解き方

  1. 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
  2. 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
  3. ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
  4. 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

モールの応力円と応力の座標変換

中心
C = (σx + σy)/2
半径
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
主応力
σ1,2 = C ± R
主応力の方向
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
斜め断面
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

解き方

  1. モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
  2. 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
  3. 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
  4. 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

2演習問題

1.軸応力とひずみふつう
Ø 25 mm銅3 mP = 20 kN

軸荷重を受ける銅製の棒の伸び δ を求めよ。

P = 20 kNd = 25 mmL = 3 mE = 117 GPa
δ = mm
2.軸応力とひずみむずかしい
80 kN12300 mm500 mmØ25Ø50σ2​ = ?

鋼 の区間（直径 25 mm、長さ 300 mm、E = 200 GPa）と、アルミニウム でできた区間（直径 50 mm、長さ 500 mm、E = 70 GPa）が端で接合され、2 つの剛な壁の間に固定されています。接合部に、区間 2 に向かって軸荷重 80 kN が作用します。区間 2 の応力の大きさ σ2 を求めなさい。

区間 1: 鋼, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa区間 2: アルミニウム, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.軸のねじりふつう
do​ = ?T = 1500 N·m

中空軸がトルク 1500 N·m を受けなければならない。 内径は外径の 0.75 倍とし、せん断応力は 40 MPa を超えてはならない。最小の外径 do を求めよ。

T = 1500 N·mdi/do = 0.75τallow = 40 MPa
do = mm
4.軸のねじりむずかしい
d = 20 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 0.8 mb = 0.5 m

直径 20 mm の鋼製の中実軸が、両端 A と B で剛な壁に固定されている。A から 0.8 m、B から 0.5 m の C にトルク 2000 N·m が作用する。 壁 A における反力トルク TA を求めよ。

d = 20 mmT0 = 2000 N·ma = 0.8 mb = 0.5 m
TA = N·m
5.せん断力と曲げモーメントふつう
30 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

30 kN @ 4 m35 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 8 kN/mP = 35 kNAB断面1 m2.5 m1.5 m

支点 A から x = 1 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mP = 35 kN 位置 3.5 mw = 8 kN/m（0 から 5 m まで）x = 1 m
Mx = kN·m
7.図心と断面二次モーメントふつう
200 mm300 mm180 mmØ60xIx​ = ?

200 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 180 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント Ix を求めなさい。

b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mm穴の中心: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
1001526020x正の M寸法の単位：mm

鋳鉄製のはりは図の T 形断面をもち、フランジが上にある。許容応力は引張で 30 MPa、圧縮で 150 MPa である。 はりが負担できる最大の正の曲げモーメント Mallow を求めよ。

bf = 100 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 260 mmσt,allow = 30 MPaσc,allow = 150 MPa
Mallow = kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
σx​ = 90σy​ = 110τxy​ = 20MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 90 MPa、σᵧ = 110 MPa、τₓᵧ = 20 MPa である（引張を正とする）。 面内の最大せん断応力 τmax を求めよ。

σx = 90 MPaσy = 110 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
σx​ = 130σy​ = −60τxy​ = 10MPa

荷重を受ける部品内のある点で、σₓ = 130 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = 10 MPa である（引張を正とする）。 法線が x 軸から反時計回りに 45° 回転した面上の垂直応力 σθ を求めよ。

σx = 130 MPaσy = −60 MPaτxy = 10 MPaθ = 45°
σθ = MPa
11.はりのたわみふつう
w = 8 kN/mδL = 8 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 8 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.はりのたわみむずかしい
w = 8 kN/mP = 27 kNδL = 2.5 m

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。

P = 27 kNw = 8 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.柱の座屈ふつう
PL = 5 md = 50 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
PL = 2 md = 40 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm
σcr = MPa

3溶液

1.軸応力とひずみ

答え: δ = 1.045 mm

フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。

応力

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 20·1000/490.9 = 40.74 MPa

ひずみ（フックの法則）

E for 銅 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 40.74/117000 = 0.0003482 = 348.2 µε

伸び

δ = ε·L = 0.0003482·3000 mm = 1.045 mm

答え

δ = 1.045 mm
2.軸応力とひずみ

答え: σ2 = 18.6 MPa

2 種類の材料：直列（端から端へ）では、どの区間も同じ力を受け、伸びが足されます：δ = P·Σ L/(E·A)。並列（剛な板の間に並べた場合）では、両方が同じ量だけ縮むので、ひずみが等しくなります：剛性の高いほうがより大きな割合を受け持ち、Pi = P·EiAi/ΣEA、σi = Ei·ε です。2 つの剛な壁の間に固定され、接合部に荷重がかかる棒は不静定です：2 つの区間は、剛性 k = EA/L に比例して荷重を分担します。

剛性

k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 70000·1963/500 = 274889 N/mm

区間 2 の分担

F2 = 80000·274889/602139 = 36522 N

応力

σ2 = 36522/1963 = 18.6 MPa （圧縮）

答え

σ2 = 18.6 MPa
3.軸のねじり

答え: do = 65.37 mm

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。

許容応力からの外径

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1.5 × 10⁶/(π·40·0.6836)) = 65.37 mm
di = 0.75·65.37 = 49.03 mm

答え

do = 65.37 mm

中実軸なら d = 57.59 mm が必要です。中空軸は少し大きくなりますが、はるかに軽くなります。

4.軸のねじり

答え: TA = 769.2 N·m

丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。 両端が固定されていると、静力学だけでは TA + TB = T₀ しか得られません。2 つ目の式は適合条件（荷重を受ける断面で両方の部分のねじれ角が等しい）です。

つり合いと適合条件

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·0.5/1.3 = 769.2 N·m
TB = 2000·0.8/1.3 = 1231 N·m

答え

TA = 769.2 N·m
5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 3 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 27.5 kN, R2 = 37.5 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 27.5, MC = 55, MD = 82.5 kN·m, ME = 75, MF = 37.5, MG = 0

答え

点 D: MD = 82.5 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 26.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 35·3.5 + 8·5·2.5
RB = 222.5/5 = 44.5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 44.5 = 30.5 kN
w = 8 kN/mP = 35 kNABRA​ = 30.5RB​ = 44.5断面1 m2.5 m1.5 m

x = 1 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 30.5·1 − 8·1·0.5 = 26.5 kN·m

答え

Mx = 26.5 kN·m
7.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 446.7 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は Ic = bh³/12、円は Ic = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (60000·150 − 2827·180)/(60000 − 2827) = 148.5 mm

ȳ まわりの全体の板

200·300³/12 + 60000·1.484² = 450.1 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·60⁴/64 + 2827·31.48² = 3.439 × 10⁶ mm⁴

引く

Ix = 446.7 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 446.7 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント

答え: Mallow = 9.578 kN·m

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

図心

ȳ = (1500·267.5 + 5200·130)/6700 = 160.8 mm
上縁: c = 275 − 160.8 = 114.2 mm

断面二次モーメント

I = 100·15³/12 + 1500·106.7² + 20·260³/12 + 5200·30.78² = 5.133 × 10⁷ mm⁴

各縁で許容されるモーメント

正の曲げ：上側は圧縮、下側は引張です。

上縁: M = 150·5.133 × 10⁷/114.2 = 67.41 kN·m
下縁: M = 30·5.133 × 10⁷/160.8 = 9.578 kN·m

決定値

Mallow = min = 9.578 kN·m (下縁)

答え

Mallow = 9.578 kN·m
9.モールの応力円と応力の座標変換

答え: τmax = 22.36 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

σxyCτmax​

モールの応力円の半径

τmax = R = √(((90 − 110)/2)² + 20²) = 22.36 MPa

答え

τmax = 22.36 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換

答え: σθ = 45 MPa

平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。

変換式

σθ = 35 + 95·0 + 10·1 = 45 MPa

答え

σθ = 45 MPa
11.はりのたわみ

答え: δmax = 17.78 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 8 N/mm, L = 8000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·8000⁴/(384·2.4 × 10¹³) = 17.78 mm

答え

δmax = 17.78 mm
12.はりのたわみ

答え: δmax = 5.102 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 27000 N, w = 8 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(48EI) = 27000·2500³/(48·2.52 × 10¹²) = 3.488 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 1.615 mm

足し合わせる

δmax = 3.488 + 1.615 = 5.102 mm

答え

δmax = 5.102 mm
13.柱の座屈

答え: Pcr = 96.89 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96.89 kN

答え

Pcr = 96.89 kN
14.柱の座屈

答え: σcr = 49.35 MPa

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·2000 = 2000 mm
KL/r = 2000/10 = 200

座屈応力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

答え

σcr = 49.35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials