軸応力とひずみ
- 垂直応力
- σ = F/A
- ひずみ
- ε = ΔL/L
- フックの法則
- σ = E·ε
- 伸び
- ΔL = FL/(EA)
- 熱ひずみ
- εT = α·ΔT
材料力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、14 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
軸のねじり
- せん断応力
- τ = T·r/J
- 中実軸
- J = πd⁴/32
- 中空軸
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- ねじれ角
- φ = TL/(GJ)
- 電力
- P = T·ω = 2πnT/60
解き方
- 断面二次極モーメントを求めます：中実軸では J = πd⁴/32。
- 表面のせん断応力：τ = T·r/J。r は外半径です。
- ねじれ角：φ = TL/(GJ)（ラジアン）。
- 動力が与えられている場合は、まず P = T·ω、ω = 2πn/60 からトルクを求めます。
せん断力と曲げモーメント
- せん断力と曲げモーメント
- V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
- 曲げ応力
- σ = M·y/I
- 長方形
- I = bh³/12
- 断面係数
- W = I/ymax
- 単純支持、等分布荷重
- Mmax = wL²/8
解き方
- はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
- 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
- せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
- 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。
図心と断面二次モーメント
- 図心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 長方形
- I = bh³/12
- 平行軸の定理
- I = Ic + A·d²
- 組合せ断面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
モールの応力円と応力の座標変換
- 中心
- C = (σx + σy)/2
- 半径
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 主応力
- σ1,2 = C ± R
- 主応力の方向
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 斜め断面
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
解き方
- モールの応力円の中心を計算します：C = (σx + σy)/2。
- 半径を計算します：R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)。
- 主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
- 円上の角度は要素上の角度の 2 倍です：tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)。
はりのたわみ
- 支間中央の集中荷重
- δ = PL³/(48EI)
- 等分布荷重、単純支持
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 片持ちばり、先端荷重
- δ = PL³/(3EI)
- 片持ちばり、等分布荷重
- δ = wL⁴/(8EI)
- 重ね合わせの理
- δ = δ1 + δ2
柱の座屈
- オイラー座屈荷重
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 有効座屈長さ係数
- K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
- 座屈応力
- σcr = Pcr/A
- 細長比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2演習問題
1.軸応力とひずみふつう
黄銅製の棒の軸ひずみ ε をマイクロひずみ (µε = 10⁻⁶) で求めよ。
P = 95 kNd = 30 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.軸応力とひずみむずかしい
段付き棒は壁に固定され、自由端に荷重を受ける。棒の最大垂直応力 σmax を求めよ。
P = 100 kN区間 1：Ø35 mm、1 m、アルミニウム（E = 70 GPa）区間 2：Ø16 mm、0.5 m、銅（E = 117 GPa）
σmax = MPa
3.軸のねじりふつう
鋼製の中実軸が壁に固定され、自由端でトルク T によりねじられる。自由端のねじれ角 φ を度で求めよ。
T = 400 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.軸のねじりむずかしい
中実軸が 500 rpm で 30 kW を伝達し、せん断応力が 40 MPa を超えないようにしたい。条件を満たす最小直径 d を求めよ。
P = 30 kWN = 500 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.せん断力と曲げモーメントふつう
支点 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。
L = 4 mw = 8 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 A から支点間の反曲点（曲げモーメントの符号が変わる点）までの距離 xc を求めよ。
L = 10.5 mw = 12 kN/m（0 から 10.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 8 m
xc = m
7.図心と断面二次モーメントふつう
T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。
bf = 140 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメントむずかしい
T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 15 kN·m を受ける。 下端の曲げ応力 σ下端 を求めよ。
bf = 240 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 240 mmM = 15 kN·m
σ下端 = MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換ふつう
ある点で σₓ = −60 MPa、σᵧ = −60 MPa、τₓᵧ = 40 MPa である（引張を正とする）。要素を時計回りに 30°回転させる。回転した要素の、回転後の y′ 軸に垂直な面に働く垂直応力 σy′ を求めよ。
σx = −60 MPaσy = −60 MPaτxy = 40 MPaθ = -30°
σy′ = MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換むずかしい
内径 1000 mm、肉厚 6 mm の薄肉円筒タンクに、ゲージ圧 3 MPa のガスが入っている。タンクは、円筒の軸と 30° をなすらせん状の継目に沿って溶接された板でできている。 溶接継目を横切って作用する垂直応力 σn を求めよ。
D = 1000 mmt = 6 mmp = 3 MPaα = 30°
σn = MPa
11.はりのたわみふつう
長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 自由端 B のたわみ δB を求めよ。
P = 7 kNa = 1.5 mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.はりのたわみむずかしい
幅 150 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ hreq を求めよ。
w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 150 mm
hreq = mm
13.柱の座屈ふつう
アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。
L = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm
Pcr = kN
14.柱の座屈むずかしい
アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σcr を求めよ。
L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 40 mm
σcr = MPa
3溶液
1.軸応力とひずみ
答え: ε = 1344 µε
フックの法則：弾性範囲では σ = E·ε。σ = P/A と ε = δ/L を組み合わせると δ = PL/(AE)。
応力
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 95·1000/706.9 = 134.4 MPa
ひずみ（フックの法則）
E for 黄銅 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 134.4/100000 = 0.001344 = 1344 µε
答え
ε = 1344 µε
2.軸応力とひずみ
答え: σmax = 497.4 MPa
軸力部材：各等断面区間は δ = PL/(AE) に従います。直列の部材では伸びが足し合わされます。
両区間で同じ力
自由端が P を受けるので、棒のどの断面も同じ軸力 P を受けます。変わるのは断面積と材料だけです。
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 103.9 MPa
σ2 = 497.4 MPa
最大応力
細い区間は断面積が小さいので、応力が大きくなります。
σmax = 497.4 MPa
答え
σmax = 497.4 MPa
3.軸のねじり
答え: φ = 4.323 °
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
断面二次極モーメント
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
ねじれ角
φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(80000·79522) = 0.07545 rad
φ = 0.07545·180/π = 4.323°
答え
φ = 4.323°
4.軸のねじり
答え: d = 41.78 mm
丸軸のねじり：せん断応力は中心で 0、表面で τmax = T·r/J まで直線的に増えます。中実軸は J = πd⁴/32、中空軸は J = π(do⁴ − di⁴)/32。ねじれ角は φ = TL/(GJ)（ラジアン）。動力とトルクは P = T·ω で結ばれます。
トルク
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 30000/52.36 = 573 N·m
許容応力から直径を求める
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·572958/(π·40)) = 41.78 mm
答え
d = 41.78 mm
実際には、次の規格寸法に切り上げます。
5.せん断力と曲げモーメント
答え: Mx = 16 kN·m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。
支点反力
はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN、作用点 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 8·4·2
RB = 64/4 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
x = 2 m で切断し、左側を残す
切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。
M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 16·2 − 8·2·1 = 16 kN·m
答え
Mx = 16 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント
答え: xc = 7.219 m
断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。
支点反力
張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。
分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·10.5 = 126 kN、作用点 x̄ = 5.25 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·10.5·5.25
RB = 661.5/8 = 82.69 kN
ΣFy = 0: RA = 126 − 82.69 = 43.31 kN
モーメント 0 の位置
支点間では M(x) = RA·x − w·x²/2。x = 0 を除くと、x = 2RA/w で 0 になります。
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·43.31/12 = 7.219 m
答え
xc = 7.219 m
7.図心と断面二次モーメント
答え: Ix = 13.58 × 10⁶ mm⁴
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 140·10 = 1400 mm², yf = 200 + 10/2 = 205 mm
ウェブ: Aw = 8·200 = 1600 mm², yw = 200/2 = 100 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1400·205 + 1600·100)/3000 = 149 mm
平行軸の定理
フランジ: 140·10³/12 + 1400·(205 − 149)² = 4.402 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 8·200³/12 + 1600·(100 − 149)² = 9.175 × 10⁶ mm⁴
Ix = 4.402 × 10⁶ + 9.175 × 10⁶ = 1.358 × 10⁷ mm⁴ = 13.58 × 10⁶ mm⁴
答え
Ix = 13.58 × 10⁶ mm⁴
8.図心と断面二次モーメント
答え: σ下端 = 90.38 MPa
組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。
2 つの長方形に分ける
y はすべて下端から測ります。
フランジ: Af = 240·10 = 2400 mm², yf = 240 + 10/2 = 245 mm
ウェブ: Aw = 10·240 = 2400 mm², yw = 240/2 = 120 mm
図心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·245 + 2400·120)/4800 = 182.5 mm
平行軸の定理
フランジ: 240·10³/12 + 2400·(245 − 182.5)² = 9.395 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 10·240³/12 + 2400·(120 − 182.5)² = 2.09 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9.395 × 10⁶ + 2.09 × 10⁷ = 3.029 × 10⁷ mm⁴
曲げ応力
下端は軸から ȳ の位置にあります。
y = 182.5 mm
σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·182.5/3.029 × 10⁷ = 90.38 MPa
答え
σ下端 = 90.38 MPa
9.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σy′ = −25.36 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。
y′ 面の座標変換の式
σy′ = −60 − 0·0.5 − 40·(−0.866) = −25.36 MPa
確認
垂直応力の和は回転しても変わりません。
σx′ = −94.64 MPa, σx′ + σy′ = −120 = σx + σy
答え
σy′ = −25.36 MPa
10.モールの応力円と応力の座標変換
答え: σn = 218.8 MPa
平面応力の座標変換：θ だけ回転した面では σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ。モールの応力円はすべての面を一度に表します：中心は C = (σₓ + σᵧ)/2、半径は R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)。主応力は C ± R、面内の最大せん断応力は R です。 薄肉円筒：周方向応力 σh = pr/t、軸方向応力 σa = pr/(2t)。これらが壁の主応力です。
壁の応力
r = 1000/2 = 500 mm
σh = pr/t = 3·500/6 = 250 MPa
σa = pr/(2t) = 125 MPa
継目への座標変換
x を軸方向（σa）、y を周方向（σh）にとります。継目の法線は軸と 90° − α をなします。
σn = 125·sin²30° + 250·cos²30° = 218.8 MPa
答え
σn = 218.8 MPa
11.はりのたわみ
答え: δB = 11.93 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
P = 7000 N, a = 1500 mm, L = 2500 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²
自由端のたわみ
荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。
δP = Pa³/(3EI) = 5.966 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.005966 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 11.93 mm
答え
δB = 11.93 mm
12.はりのたわみ
答え: hreq = 163.4 mm
はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。
単位をそろえる
N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²
たわみの制限
δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm
必要な断面二次モーメント
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·4000⁴/(384·11000·11.11) = 5.455 × 10⁷ mm⁴
必要な高さ
bh³/12 = Ireq → h = (12·5.455 × 10⁷/150)1/3 = 163.4 mm
答え
hreq = 163.4 mm
実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。
13.柱の座屈
答え: Pcr = 17.58 kN
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
有効座屈長さ
KL = 1·5000 = 5000 mm
座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/5000² = 17581 N = 17.58 kN
答え
Pcr = 17.58 kN
14.柱の座屈
答え: σcr = 22.56 MPa
オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。
最小の断面二次モーメント
円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
断面二次半径と細長比
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/10 = 175
座屈応力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/175² = 22.56 MPa
答え
σcr = 22.56 MPa
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